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共找到 1,106 题
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015分概率与统计★☆☆☆☆
样本数据 66，88，44，55，1212 的中位数为（ ）
A.
55
B.
66
C.
88
D.
99

2026 · 全国 · 一卷 · 第 1 题 · 选择题

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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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17概率与统计★★★★☆
现从全校学生中随机抽取 200 人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
以频率估计概率，完成下列问题：
(1) 求数学成绩低于 120 分的概率； (2) 从学校随机抽取 4 人，求 2 人不低于 120 且 2 人小于 94 的概率； (3) 每组数据取左端，中间，右端，比较 s左2s_{\text{左}}^2，s中2s_{\text{中}}^2，s右2s_{\text{右}}^2 的大小关系.

2026 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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03概率与统计★☆☆☆☆
调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数 r=−0.91r=-0.91，根据最小二乘法算得：y^=−1.17x+1370.7\hat{y}=-1.17x+1370.7，下列说法正确的是（ ）
A.
yy 与 xx 负相关
B.
当 x=10x=10 时，yy 一定为 13591359
C.
当 x=10x=10 时，yy 一定小于 13591359
D.
两变量无线性关系

2026 · 天津 · 第 3 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是______；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是______.

2026 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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04概率与统计★☆☆☆☆
已知事件 AA，BB 互斥，P(A)=0.2P\left( A \right)=0.2，P(B)=0.5P\left( B \right)=0.5，则 P(A∪B)=‾P\left( A\cup B \right)=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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08概率与统计★★☆☆☆
已知随机变量 XX 的分布为
(−101a0.3b)\left( \begin{smallmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & 0.3 & b \end{smallmatrix} \right)
，E(X)=0.5E\left( X \right)=0.5，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
事件 AA 和事件 BB 相互独立，“AA 和 BB 至少一个发生”的对立事件是（ ）
A.
A∩BA\cap B
B.
A∪BA\cup B
C.
A‾∩B‾\overline{A}\cap \overline{B}
D.
A‾∪B‾\overline{A}\cup \overline{B}

2026 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

2026 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某兴趣班共150 人150\text{ 人}，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
(1) 现采用分层抽样抽取30 人30\text{ 人}，其中抽到年龄在[25,35) 岁[25,35)\text{ 岁}的有多少人？ (2) 该兴趣班150 人150\text{ 人}的平均年龄是多少？ (3) 现从150 人150\text{ 人}中任意抽选1 人1\text{ 人}，记抽到的学员年龄在[35,45)[35,45)为事件AA，记抽到学员爱好摄影为事件BB. 事件AA与BB是否独立？请说明理由.

2026 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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015分概率与统计★☆☆☆☆
样本数据 22，88，1414，1616，2020 的平均数为（ ）
A.
88
B.
99
C.
1212
D.
1818

2025 · 全国 · 二卷 · 第 1 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 100100 人，甲校有 8080 人答对，乙校有 7575 人答对，用频率估计概率.
(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 XX 为做对人数，求 P(X=1)P(X=1) 与 E(X)E(X)； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 100%100\% 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 85%85\% 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 p1p_1，乙校学生掌握该知识点的概率为 p2p_2，比较 p1p_1 与 p2p_2 的大小.

2025 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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05概率与统计★★☆☆☆
下列说法中错误的是（ ）
A.
若 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，则 P(X≤μ−σ)=P(X≥μ+σ)P(X\le\mu-\sigma)=P(X\ge\mu+\sigma)
B.
若 X∼N(1,22)X\sim N(1,2^2)，Y∼N(2,22)Y\sim N(2,2^2)，则 P(X<1)<P(Y<2)P(X<1)<P(Y<2)
C.
∣r∣|r| 越接近 1，相关性越强
D.
∣r∣|r| 越接近 0，相关性越弱

2025 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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13概率与统计★★★☆☆
小桐一周跑 22 次，一次 55 圈或 66 圈. 第一次跑 55 圈或 66 圈概率各为 0.50.5；若第一次跑 55 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.40.4，0.60.6；若第一次跑 66 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.60.6，0.40.4. 则一周跑 1111 圈的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}；若一周至少跑 1111 圈为达标，则连续跑 44 周，记合格周数为 XX，则 E(X)=‾E(X)=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
已知随机变量 XX 的分布为
(5670.20.30.5)\begin{pmatrix}5&6&7\\0.2&0.3&0.5\end{pmatrix}
，则期望 E(X)=E(X)=______.

2025 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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13概率与统计★☆☆☆☆
已知事件 AA，BB 相互独立，若 P(A)=P(B)=12P(A)=P(B)=\frac{1}{2}，则 P(A∩B)P(A\cap B) 的值为（ ）
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2025 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子 4×1004\times100 米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军成绩（单位：秒），数据按照升序排列.
(1) 求这组数据的极差与中位数； (2) 从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据大于 211211 的概率； (3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y=−0.311x+b^y=-0.311x+\hat b，年份 xx 的平均数为 20062006，预测 20282028 年男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军队的成绩（精确到 0.010.01 秒）.

2025 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
有一四边形 ABCDABCD，对其四边 ABAB，BCBC，CDCD，DADA 按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去. 最后，以 AA 为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达 CC 点的概率为（ ）.
A.
12\dfrac12
B.
716\dfrac7{16}
C.
14\dfrac14
D.
316\dfrac3{16}

2025 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.
甲茎乙
77，77，55，55，44161600，33，55，55，66，77，88，88
88，55，44，33，22，22171722
331818
(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 6060 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 170 厘米170\text{ 厘米} 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？

2025 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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