真题题库 | 数迹

04高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加, 每人出场一次, 出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场, 且甲或乙最后出场的概率是（）

\dfrac{1}{6}

B.

\dfrac{1}{4}

C.

\dfrac{1}{3}

D.

\dfrac{1}{2}

2024全国甲卷(文) · 第 4 题 · 选择题

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04高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻, 得到各块稻田的亩产量 (单位: kg) 并整理得下表:

亩产量	[900, 950)	[950, 1000)	[1000, 1050)	[1050, 1100)	[1100, 1150)	[1150, 1200)
频数	6	12	18	30	24	10

根据表中数据, 下列结论中正确的是 ( )

A.

100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kg

B.

100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 80%

C.

100 块稻田亩产量的极差介于 200 kg 至 300 kg 之间

D.

100 块稻田亩产量的平均值介于 900 kg 至 1000 kg 之间

2024新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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09高考真题6分概率与统计★★★☆☆

随着“一带一路”国际合作的深入, 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值

\bar{x} = 2.1

, 样本方差

s^2 = 0.01

. 已知该种植区以往的亩收入

X

服从正态分布

N(1.8, 0.1^2)

, 假设推动出口后的亩收入

Y

服从正态分布

N(\bar{x}, s^2)

, 则 (若随机变量

Z

服从正态分布

N(\mu, \sigma^2)

, 则

P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413

) ( )

A.

P(X > 2) > 0.2

B.

P(X > 2) < 0.5

C.

P(Y > 2) > 0.5

D.

P(Y > 2) < 0.8

2024新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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14高考真题5分概率与统计★★★★☆

甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 ______.

2024新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16高考真题5分概率与统计★★★★☆

有

6

个相同的球, 分别标有数字

1, 2, 3, 4, 5, 6

, 从中无放回地随机取

3

次, 每次取

1

个球. 设

m

为前两次取出的球上数字的平均值,

n

为取出的三个球上数字的平均值, 则

|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2}

的概率为______.

2024全国甲卷(理) · 第 16 题 · 填空题

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17高考真题12分概率与统计★★☆☆☆

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取

150

件进行检验, 数据如下:

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

(1) 填写如下列联表:

	优级品	非优级品	合计
甲车间
乙车间
合计

能否有

95\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有

99\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p = 0.5

. 设

\hat{p}

为升级改造后抽取的

n

件产品的优级品率, 如果

\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150

件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (

\sqrt{150} \approx 12.247

)

附:

K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

,

$P(K^2 \geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2024全国甲卷(理) · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取

150

件进行检验, 数据如下:

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

(1) 填写如下列联表:

	优级品	非优级品	合计
甲车间
乙车间
合计

能否有

95\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有

99\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p = 0.5

. 设

\hat{p}

为升级改造后抽取的

n

件产品的优级品率, 如果

\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150

件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (

\sqrt{150} \approx 12.247

)

附:

K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

,

$P(K^2 \geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2024全国甲卷(文) · 第 18 题 · 解答题

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆

某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为

p

, 乙为

q

, 各次独立.

(1) 若

p = 0.4, q = 0.5

, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;

(2) 假设

0 < p < q

. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

2024新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题17分数列★★★★★

设

m

为正整数, 数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

是公差不为

0

的等差数列, 若从中删去两项

a_i

和

a_j\ (i<j)

后剩余的

4m

项可被平均分为

m

组, 且每组的

4

个数都能构成等差数列, 则称数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

是

(i,j)

-可分数列.

(1) 写出所有的

(i,j)

,

1 \le i < j \le 6

, 使数列

a_1, a_2, \ldots, a_6

是

(i,j)

-可分数列;

(2) 当

m \ge 3

时, 证明: 数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

是

(2,13)

-可分数列;

(3) 从

1, 2, \ldots, 4m+2

中一次任取两个数

i

和

j\ (i<j)

, 记数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

是

(i,j)

-可分数列的概率为

P_m

, 证明:

P_m > \frac{1}{8}

.

2024新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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