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共找到 56 题
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015分概率与统计★☆☆☆☆
样本数据 66，88，44，55，1212 的中位数为（ ）
A.
55
B.
66
C.
88
D.
99

2026 · 全国 · 一卷 · 第 1 题 · 选择题

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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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085分概率与统计★★★☆☆
有 66 个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中有放回地随机取两次，每次取 11 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 11”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 22”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 88”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 77”，则（ ）
A.
甲与丙相互独立
B.
甲与丁相互独立
C.
乙与丙相互独立
D.
丙与丁相互独立

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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096分概率与统计★★☆☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，xnx_n，由这组数据得到新样本数据 y1y_1，y2y_2，…\dots，yny_n，其中 yi=xi+cy_i=x_i+c（i=1i=1，22，…\dots，nn），cc 为非零常数，则（ ）
A.
两组样本数据的样本平均数相同
B.
两组样本数据的样本中位数相同
C.
两组样本数据的样本标准差相同
D.
两组样本数据的样本极差相同

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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03概率与统计★☆☆☆☆
已知一组数据 44，2a2a，3−a3-a，55，66 的平均数为 44，则 aa 的值是______.

2020 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04概率与统计★☆☆☆☆
将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 22 次，观察向上的点数，则点数和为 55 的概率是______.

2020 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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23概率与统计★★★★★
甲口袋中装有 22 个黑球和 11 个白球，乙口袋中装有 33 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 nn 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 XnX_n，恰有 22 个黑球的概率为 pnp_n，恰有 11 个黑球的概率为 qnq_n.
(1) 求 p1⋅q1p_1\cdot q_1 和 p2⋅q2p_2\cdot q_2； (2) 求 2pn+qn2p_n+q_n 与 2pn−1+qn−12p_{n-1}+q_{n-1} 的递推关系式和 XnX_n 的数学期望 E(Xn)E(X_n)（用 nn 表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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05概率与统计★☆☆☆☆
已知一组数据 66，77，88，88，99，1010，则该组数据的方差是______.
\begin{answer} 53\dfrac{5}{3} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 33 名男同学和 22 名女同学中任选 22 名同学参加志愿者服务，则选出的 22 名同学中至少有 11 名女同学的概率是______.
\begin{answer} 710\dfrac{7}{10} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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03概率与统计★☆☆☆☆
已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为______.
899
9011

2018 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为______.

2018 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某工厂生产甲，乙，丙，丁四种不同型号的产品，产量分别为 200200，400400，300300，100100 件. 为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 6060 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______ 件.

2017 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
记函数 f(x)=6+x−x2f(x)=\sqrt{6+x-x^2} 的定义域为 DD. 在区间 [−4,5][-4,5] 上随机取一个数 xx，则 x∈Dx\in D 的概率是______.

2017 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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