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06概率与统计★★☆☆☆
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 66 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 33 个阳爻的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
516\dfrac{5}{16}
B.
38\dfrac{3}{8}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
116\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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06概率与统计★☆☆☆☆
某学校为了了解 10001000 名新生的身体素质，将这些学生编号 11，22，…\dots，10001000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100100 名学生进行体质测验. 若 4646 号学生被抽到，则下面 44 名学生中被抽到的是（ ）
A.
88 号学生
B.
200200 号学生
C.
616616 号学生
D.
815815 号学生

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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05概率与统计★☆☆☆☆
演讲比赛共有 99 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 99 个原始评分中去掉 11 个最高分，11 个最低分，得到 77 个有效评分. 77 个有效评分与 99 个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A.
中位数
B.
平均数
C.
方差
D.
极差

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
我国高铁发展迅速，技术先进. 经统计，在经停某站的高铁列车中，有 1010 个车次的正点率为 0.970.97，有 2020 个车次的正点率为 0.980.98，有 1010 个车次的正点率为 0.990.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 11 分，当某局打成 10:1010:10 平后，每球交换发球权，先多得 22 分的一方获胜，该局比赛结束. 甲，乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.50.5，乙发球时甲得分的概率为 0.40.4，各球的结果相互独立. 在某局双方 10:1010:10 平后，甲先发球，两人又打了 XX 个球该局比赛结束.
(1) 求 P(X=2)P(X=2)； (2) 求事件“X=4X=4 且甲获胜”的概率.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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14概率与统计★☆☆☆☆
我国高铁发展迅速，技术先进. 经统计，在经停某站的高铁列车中，有 1010 个车次的正点率为 0.970.97，有 2020 个车次的正点率为 0.980.98，有 1010 个车次的正点率为 0.990.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5” ，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
=0pt

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A.
16\dfrac16
B.
14\dfrac14
C.
13\dfrac13
D.
12\dfrac12

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5”，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
支付方式(0,1000](0,1000](1000,2000](1000,2000]大于 20002000
仅使用 BB1010 人1414 人11 人
(1) 从全校学生中随机抽取 11 人，估计该学生上个月 AA，BB 两个支付方式都使用的概率； (2) 从样本仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生中各随机抽取 11 人，以 XX 表示这 22 人中上个月支付金额大于 10001000 元的人数，求 XX 的分布列和数学期望； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 AA 的学生中，随机抽查 33 人，发现他们本月的支付金额都大于 20002000 元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用 AA 的学生中本月支付金额大于 20002000 元的人数有变化？说明理由.

2019 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 10001000 名学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
(1) 估计该校学生中上个月 AA，BB 两种支付方式都使用的人数； (2) 从样本仅使用 BB 的学生中随机抽取 11 人，求该学生上个月支付金额大于 2 0002\,000 元的概率； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用 BB 的学生中随机抽查 11 人，发现他本月的支付金额大于 2 0002\,000 元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 BB 的学生中本月支付金额大于 2 0002\,000 元的人数有变化？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
设甲，乙两位同学上学期间，每天 7:307{:}30 之前到校的概率均为 23\dfrac{2}{3}. 假定甲，乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1) 用 XX 表示甲同学上学期间的三天中 7:307{:}30 之前到校的天数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望； (2) 设 MM 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7:307{:}30 之前到校的天数比乙同学在 7:307{:}30 之前到校的天数恰好多 22”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育，继续教育，大病医疗，住房贷款利息或者住房租金，赡养老人等六项专项附加扣除. 某单位老，中，青员工分别有 72,108,12072,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 2525 人调查专项附加扣除的享受情况.
(1) 应从老，中，青员工中分别抽取多少人？ (2) 抽取的 2525 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 66 人，分别记为 AA，BB，CC，DD，EE，FF. 享受情况如右表，其中“∘\circ”表示享受，“×\times”表示不享受. 现从这 66 人中随机抽取 22 人接受采访.
员工项目AABBCCDDEEFF
继续教育×\times×\times∘\circ×\times∘\circ∘\circ
大病医疗×\times×\times×\times∘\circ×\times×\times
住房贷款利息∘\circ∘\circ×\times×\times∘\circ∘\circ
住房租金×\times×\times∘\circ×\times×\times×\times
赡养老人∘\circ∘\circ×\times×\times×\times∘\circ
(i) 试用列举法写出所有可能的抽取结果； (ii) 设事件 MM 为“从这 66 人中随机抽取 22 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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10概率与统计★★☆☆☆
某三位数密码锁，每位数字在 0∼90\sim9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______.

2019 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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05概率与统计★☆☆☆☆
已知一组数据 66，77，88，88，99，1010，则该组数据的方差是______.
\begin{answer} 53\dfrac{5}{3} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 33 名男同学和 22 名女同学中任选 22 名同学参加志愿者服务，则选出的 22 名同学中至少有 11 名女同学的概率是______.
\begin{answer} 710\dfrac{7}{10} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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07概率与统计★★★☆☆
设 0<a<10<a<1，则随机变量 XX 的分布列如图，则当 aa 在 (0,1)(0,1) 内增大时，D(X)D(X)（ ）
A.
增大
B.
减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大

2019 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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