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12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠，合，升，斗，斛五量合一的标准量器，其中升量器，斗量器，斛量器的形状均可视为圆柱. 若升，斗，斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65 mm65\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，且斛量器的高为 230 mm230\mathrm{~mm}，则斗量器的高为______ mm\mathrm{~mm}，升量器的高为______ mm\mathrm{~mm}.（不计量器的厚度）

2024 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 {an}\{a_n\}，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 a1=1a_1=1，a5=12a_5=12，a9=192a_9=192，则 a7=‾a_7=\underline{\hspace{2em}}；数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 若 a2=−3a_2=-3，S5=−10S_5=-10，则 a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}，SnS_n 的最小值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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09数列★☆☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=3a_1=3，a2+a5=36a_2+a_5=36，则 {an}\{a_n\} 的通项公式为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=−1a_1=b_1=-1，a4=b4=8a_4=b_4=8，则 a2b2=‾\dfrac{a_2}{b_2}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 a1=6a_1=6，a3+a5=0a_3+a_5=0，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a7+a8+a9>0a_{7} + a_{8} + a_{9} > 0，a7+a10<0a_{7} + a_{10} < 0，则当 n=‾n =\underline{\hspace{2em}} 时，{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和最大.

2014 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2+a4=20a_{2} + a_{4} = 20，a3+a5=40a_{3} + a_{5} = 40，则公比 q=q =______，前 nn 项和 Sn=S_{n} =______.

2013 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2+a4=20a_{2} + a_{4} = 20，a3+a5=40a_{3} + a_{5} = 40，则公比 q=q =______ . 前 nn 项和 Sn=S_{n} =______.

2013 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和，若 a1=12a_1=\frac{1}{2}，S2=a3S_2=a_3，则 a2=a_2=______；Sn=S_n=______.

2012 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和，若 a1=12a_1 = \frac{1}{2}，S2=a3S_2 = a_3，则 a2=a_2=______；Sn=S_n=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=12a_1 = \frac{1}{2}，a4=−4a_4 = -4，则公比 q=q=______；∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣an∣=|a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| =______.

2011 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 中，a1=12a_{1}=\frac{1}{2}，a4=−4a_{4}=-4，则公比 q=q=______；a1+a2+⋯+an=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=______.

2011 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a4n−3=1a_{4n - 3} = 1，a4n−1=0a_{4n - 1} = 0，a2n=ana_{2n} = a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，则 a2009=a_{2009} =______；a2014=a_{2014} =______.
\begin{answer} 11，00 \end{answer}
\begin{solution} 由 2009=4×503−32009=4\times503-3，代入 a4n−3=1a_{4n-3}=1 得 a2009=1a_{2009}=1. 又由 a2n=ana_{2n}=a_n，有 a2014=a1007a_{2014}=a_{1007}. 因为 1007=4×252−11007=4\times252-1，代入 a4n−1=0a_{4n-1}=0 得 a1007=0a_{1007}=0，所以 a2014=0a_{2014}=0. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=1a_{1} = 1，an+1=2ana_{n+1} = 2a_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则 a5=‾a_{5} =\underline{\hspace{2em}}；前 88 项的和 S8=‾S_{8} =\underline{\hspace{2em}}. （用数字作答）

2009 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_{k}(x_{k},y_{k}) 处，其中 x1=1x_{1} = 1，y1=1y_{1} = 1，当 k⩾2k \geqslant 2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 5\left[ T\left(\frac{k - 1}{5}\right) - T\left(\frac{k - 2}{5}\right) \right],\\ y_{k} = y_{k - 1} + T\left(\frac{k - 1}{5}\right) - T\left(\frac{k - 2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6) = 2，T(0.2)=0T(0.2) = 0. 按此方案，第 66 棵树种植点的坐标应为______；第 20082008 棵树种植点的坐标应为______.
\begin{answer} (1,2)(1,2)，(3,402)(3,402) \end{answer}
\begin{solution} 记 dk=T(k−15)−T(k−25)d_k=T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right). 当 k⩾2k\geqslant2 时，dk=1d_k=1 当且仅当 k=5j+1k=5j+1（jj 为正整数），其余情形 dk=0d_k=0. 因而通常每次使 xx 增加 11，使 yy 不变；在 k=5j+1k=5j+1 时，xx 的增量为 −4-4，yy 的增量为 11.
从 P1=(1,1)P_1=(1,1) 到 P6P_6，只有 k=6k=6 时 dk=1d_k=1，故 P6=(1,2)P_6=(1,2). 在 k=2k=2，…\ldots，20082008 中，满足 k=5j+1k=5j+1 的 kk 有 ⌊20075⌋=401\left\lfloor\frac{2007}{5}\right\rfloor=401 个. 若没有这些特殊增量，x2008=1+2007=2008x_{2008}=1+2007=2008；每次特殊增量相对于通常的增量 11 少 55，所以 x2008=2008−5⋅401=3x_{2008}=2008-5\cdot401=3，而 y2008=1+401=402y_{2008}=1+401=402. 故填 (1,2)(1,2)，(3,402)(3,402). \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_k(x_k,y_k) 处，其中 x1=1x_1=1，y1=1y_1=1. 当 k⩾2k\geqslant2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_k=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right)\right],\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6)=2，T(0.2)=0T(0.2)=0. 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为______；第2008棵树种植点的坐标应为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−10nS_{n}=n^{2}-10n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots），则此数列的通项公式为______；数列 {nan}\{na_{n}\} 中数值最小的项是第______ 项.

2007 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−10nS_{n} = n^{2} - 10n（n=1n = 1，22，33，…\dots），则此数列的通项公式为______.

2007 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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