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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的项数均为 mm（m>2m>2），且 ana_n，bn∈{1,2,…,m}b_n\in\{1,2,\dots,m\}，{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和分别为 AnA_n，BnB_n，并规定 A0=B0=0A_0=B_0=0. 对于 k∈{0,1,2,…,m}k\in\{0,1,2,\dots,m\}，定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak, i∈{0,1,2,…,m}}r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}，其中，max⁡M\max M 表示数集 MM 中最大的数.
(1) 若 a1=2a_1=2，a2=1a_2=1，a3=3a_3=3，b1=1b_1=1，b2=3b_2=3，b3=3b_3=3，求 r0r_0，r1r_1，r2r_2，r3r_3 的值； (2) 若 a1≥b1a_1\ge b_1，且 2rj≤rj+1+rj−12r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}（j=1j=1，22，…\dots，m−1m-1），求 rnr_n； (3) 证明：存在 pp，qq，ss，t∈{0,1,2,…,m}t\in\{0,1,2,\dots,m\}，满足 p>qp>q，s>ts>t，使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p+B_t=A_q+B_s.

2023 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，从中选取第 i1i_1 项，第 i2i_2 项，…，第 imi_m 项（i1<i2<⋯<imi_1<i_2<\cdots<i_m），若 ai1<ai2<⋯<aima_{i_1}<a_{i_2}<\cdots<a_{i_m}，则称新数列 ai1a_{i_1}，ai2a_{i_2}，…\dots，aima_{i_m} 为 {an}\{a_n\} 的长度为 mm 的递增子列. 规定：数列 {an}\{a_n\} 的任意一项都是 {an}\{a_n\} 的长度为 11 的递增子列.
(1) 写出数列 11，88，33，77，55，66，99 的一个长度为 44 的递增子列； (2) 已知数列 {an}\{a_n\} 的长度为 pp 的递增子列的末项的最小值为 am0a_{m_0}，长度为 qq 的递增子列的末项的最小值为 an0a_{n_0}. 若 p<qp<q，求证：am0<an0a_{m_0}<a_{n_0}； (3) 设无穷数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正整数，且任意两项均不相等. 若 {an}\{a_n\} 的长度为 ss 的递增子列末项的最小值为 2s−12s-1，且长度为 ss 末项为 2s−12s-1 的递增子列恰有 2 s−12^{\,s-1} 个（s=1s=1，22，…\dots），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2019 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

2019 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=ln⁡2a_1=\ln2，a2+a3=5ln⁡2a_2+a_3=5\ln2.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 ea1+ea2+⋯+ean\mathrm{e}^{a_1}+\mathrm{e}^{a_2}+\cdots+\mathrm{e}^{a_n}.

2018 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 是两个等差数列，记 cn=max⁡{b1−a1n,b2−a2n,…,bn−ann}c_n=\max\{b_1-a_1n,b_2-a_2n,\dots,b_n-a_nn\}（n=1n=1，22，33，…\dots），其中 max⁡{x1,x2,…,xs}\max\{x_1,x_2,\dots,x_s\} 表示 x1x_1，x2x_2，…\dots，xsx_s 这 ss 个数中最大的数.
(1) 若 an=na_n=n，bn=2n−1b_n=2n-1，求 c1c_1，c2c_2，c3c_3 的值，并证明 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 证明：或者对任意正数 MM，存在正整数 mm，当 n≥mn\ge m 时，cnn>M\dfrac{c_n}{n}>M；或者存在正整数 mm，使得 cmc_m，cm+1c_{m+1}，cm+2c_{m+2}，…\dots 是等差数列.

2017 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=1a_1=b_1=1，a2+a4=10a_2+a_4=10，b2b4=a5b_2b_4=a_5.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求和： b1+b3+b5+⋯+b2n−1b_1+b_3+b_5+\cdots+b_{2n-1}.

2017 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 AA：a1a_1，a2a_2，…\ldots，aNa_N（N≥2N\ge2）. 如果对小于 nn（2≤n≤N2\le n\le N）的每个正整数 kk 都有 ak<ana_k<a_n，则称 nn 是数列 AA 的一个“GG时刻”，记 G(A)G(A) 是数列 AA 的所有“GG时刻”组成的集合.
(1) 对数列 AA：−2-2，22，−1-1，11，33，写出 G(A)G(A) 的所有元素； (2) 证明：若数列 AA 中存在 ana_n 使得 an>a1a_n>a_1，则 G(A)≠∅G(A)\ne\varnothing； (3) 证明：若数列 AA 满足 an−an−1≤1a_n-a_{n-1}\le1（n=2n=2，33，…\ldots，NN），则 G(A)G(A) 的元素个数不小于 aN−a1a_N-a_1.

2016 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，且 b2=3b_2=3，b3=9b_3=9，a1=b1a_1=b_1，a14=b4a_{14}=b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 cn=an+bnc_n=a_n+b_n，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2016 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足：a1∈N∗a_1\in\mathbf{N}^*，a1⩽36a_1\leqslant 36，且
an+1={2an,an⩽18,2an−36,an>18,a_{n+1}=\begin{cases} 2a_n, & a_n\leqslant 18,\\ 2a_n-36, & a_n>18, \end{cases}
（n=1n=1，22，⋯\cdots）. 记集合 M={an∣n∈N∗}M=\{a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}.
(1) 若 a1=6a_1=6，写出集合 MM 的所有元素； (2) 若集合 MM 存在一个元素是 33 的倍数，证明：MM 的所有元素都是 33 的倍数； (3) 求集合 MM 的元素个数的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1+a2=10a_1 + a_2 = 10，a4−a3=2a_4 - a_3 = 2.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b2=a3b_{2}=a_{3}，b3=a7b_{3}=a_{7}，问： b6b_{6} 与数列 {an}\{a_{n}\} 的第几项相等？

2015 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20数列★★★★★
对于数对序列 PP：(a1,b1)(a_1, b_1)，(a2,b2)(a_2, b_2)，⋯\cdots，(an,bn)(a_n, b_n)，记 T1(P)=a1+b1T_1(P) = a_1 + b_1，Tk(P)=bk+max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}T_k(P) = b_k + \max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n），其中 max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}\max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\} 表示 Tk−1(P)T_{k-1}(P) 和 a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k 两个数中最大的数.
(1) 对于数对序列 PP：(2,5)(2,5)，(4,1)(4,1)，求 T1(P)T_{1}(P)，T2(P)T_{2}(P) 的值. (2) 记 mm 为 aa，bb，cc，dd 四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 组成的数对序列 PP：(a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 和 P′P'：(c,d)(c, d)，(a,b)(a, b). 试分别对 m=am = a 和 m=dm = d 时两种情况比较 T2(P)T_{2}(P) 和 T2(P′)T_{2}(P') 的大小. (3) 在由 5 个数对5\text{ 个数对} (11,8)(11,8)，(5,2)(5,2)，(16,11)(16,11)，(11,11)(11,11)，(4,6)(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 PP 使 T5(P)T_{5}(P) 最小，并写出 T5(P)T_{5}(P) 的值. （只需写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，满足 a1=3a_{1}=3，a4=12a_{4}=12，数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=4b_{1}=4，b4=20b_{4}=20，且 {bn−an}\{b_{n}-a_{n}\} 是等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.

2014 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知 {an}\{a_{n}\} 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 nn 项的最大值记为 AnA_{n}，第 nn 项之后各项 an+1a_{n+1}，an+2a_{n+2}，⋯\cdots 的最小值记为 BnB_{n}，dn=An−Bnd_{n} = A_{n} - B_{n}.
(1) 若 {an}\{a_{n}\} 为 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3, ⋯\cdots，是一个周期为 4 的数列 （即对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an+4=ana_{n+4} = a_{n} ），写出 d1d_{1}，d2d_{2}，d3d_{3}，d4d_{4} 的值； (2) 设 dd 是非负整数，证明： dn=−dd_{n} = -d （n=1n = 1，22，3⋯3 \cdots）的充分必要条件为 {an}\{a_{n}\} 是公差为 dd 的等差数列； (3) 证明：若 a1=2a_{1} = 2，dn=1d_{n} = 1（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots），则 {an}\{a_{n}\} 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1.

2013 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
给定数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，对 i=1i = 1，22，⋯\cdots，n−1n-1，该数列前 ii 项的最大值记为 AiA_i，后 n−in-i 项 ai+1a_{i+1}，ai+2a_{i+2}，⋯\cdots，ana_n 的最小值记为 BiB_i，di=Ai−Bid_i = A_i - B_i.
(1) 设数列 {an}\{a_n\} 为 3， 4， 7， 1，写出 d1d_1，d2d_2，d3d_3 的值； (2) 设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a_n\ （n⩾4n \geqslant 4）是公比大于 1 的等比数列，且 a1>0a_1 > 0. 证明： d1d_1，d2d_2，⋯\cdots，dn−1d_{n-1} 是等比数列； (3) 设 d1d_1，d2d_2，⋯\cdots，dn−1d_{n-1} 是公差大于 0 的等差数列，且 d1>0d_1 > 0. 证明： a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，an−1a_{n-1} 是等差数列.

2013 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
若数列 AnA_n：a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n（n⩾2n \geqslant 2）满足 ∣ak+1−ak∣=1\left|a_{k+1} - a_k\right| = 1（k=1k = 1，22，⋯\cdots，n−1n - 1），则称 AnA_n 为 EE 数列. 记 S(An)=a1+a2+⋯+anS(A_n) = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
(1) 写出一个满足 a1=a5=0a_1 = a_5 = 0，且 S(A5)>0S(A_5) > 0 的 EE 数列 A5A_5； (2) 若 a1=12a_1 = 12，n=2000n = 2000，证明：EE 数列 AnA_n 是递增数列的充要条件是 an=2011a_n = 2011； (3) 对任意给定的整数 nn（n⩾2n \geqslant 2），是否存在首项为 00 的 EE 数列 AnA_n，使得 S(An)=0S(A_n) = 0？如果存在，写出一个满足条件的 EE 数列 AnA_n；如果不存在，说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 A5:0A_5: 0，11，22，11，00. 相邻两项之差的绝对值均为 11，故它是 EE 数列；且 a1=a5=0a_1=a_5=0，S(A5)=0+1+2+1+0=4>0S(A_5)=0+1+2+1+0=4>0. \item 先证必要性. 若 AnA_n 是递增数列，则 ak+1−ak=1a_{k+1}-a_k=1（k=1k=1，22，⋯\cdots，19991999），所以 an=a1+(n−1)=12+1999=2011a_n=a_1+(n-1)=12+1999=2011.
再证充分性. 若 an=2011a_n=2011，则 an−a1=2011−12=1999a_n-a_1=2011-12=1999. 又 an−a1=∑k=11999(ak+1−ak)a_n-a_1=\sum_{k=1}^{1999}\left(a_{k+1}-a_k\right)，右端共 19991999 个取值为 ±1\pm1 的项，其和为 19991999，故每一项都等于 11，即 ak+1−ak=1a_{k+1}-a_k=1（k=1k=1，22，⋯\cdots，19991999），所以 AnA_n 是递增数列. \item 记 dk=ak+1−ak∈{−1,1}d_k=a_{k+1}-a_k\in\{-1,1\}（k=1k=1，22，⋯\cdots，n−1n-1）. 由 a1=0a_1=0 得 ak=∑j=1k−1dja_k=\sum_{j=1}^{k-1}d_j，于是 S(An)=∑k=1nak=∑j=1n−1(n−j)djS(A_n)=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{j=1}^{n-1}(n-j)d_j. 因为 (n−j)dj(n-j)d_j 与 n−jn-j 同奇偶，所以 S(An)S(A_n) 与 ∑j=1n−1(n−j)=n(n−1)2\sum_{j=1}^{n-1}(n-j)=\frac{n(n-1)}{2} 同奇偶.
若 S(An)=0S(A_n)=0，则 n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} 为偶数，即 n≡0n\equiv0 或 1(mod4)1\pmod4. 反之，当 n≡2n\equiv2 或 3(mod4)3\pmod4 时，n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} 为奇数，S(An)≠0S(A_n)\ne0，不存在满足条件的 EE 数列.
当 n≡0(mod4)n\equiv0\pmod4 时，取 An:0A_n: 0，11，00，−1-1，00，11，00，−1-1，⋯\cdots，即以 00，11，00，−1-1 为周期重复. 相邻两项之差的绝对值均为 11，且每个周期的和为 00，故 S(An)=0S(A_n)=0.
当 n≡1(mod4)n\equiv1\pmod4 时，取上面长度为 n−1n-1 的数列并在末尾添上 00. 它仍是 EE 数列，前 n−1n-1 项之和为 00，末项为 00，故 S(An)=0S(A_n)=0.
综上，满足条件的 EE 数列 AnA_n 存在当且仅当 n≡0n\equiv0 或 1(mod4)1\pmod4. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
若数列 AnA_{n}：a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n}（n⩾2n \geqslant 2）满足 ∣ak+1−ak∣=1\left|a_{k+1} - a_{k}\right| = 1（k=1k = 1，22，⋯\cdots，n−1n-1），则称 AnA_{n} 为 EE 数列. 记 S(An)=a1+a2+⋯+anS(A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}.
(1) 写出一个 EE 数列 AnA_{n} 满足 a1=a3=0a_{1}=a_{3}=0； (2) 若 a1=12a_1 = 12，n=2000n = 2000，证明：EE 数列 AnA_n 是递增数列的充要条件是 an=2011a_n = 2011； (3) 在 a1=4a_1 = 4 的 EE 数列 AnA_n 中，求使得 S(An)=0S(A_n) = 0 成立的 nn 的最小值.

2011 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a3=−6a_{3} = -6，a6=0a_{6} = 0.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=−8b_{1} = -8，b2=a1+a2+a3b_{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3}，求 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和公式.

2010 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知数集 A={a1,a2,⋯ ,an}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\} （1⩽a1<a2<⋯<an1 \leqslant a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}，n⩾2n \geqslant 2）具有性质 PP：对任意的 ii，jj （1⩽i⩽j⩽n1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n），aiaja_{i} a_{j} 与 ajai\frac{a_{j}}{a_{i}} 两数中至少有一个属于 AA.
(1) 分别判断集数 {1,3,4}\{1, 3, 4\} 与 {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (2) 证明：a1=1a_{1}=1，且 a1+a2+⋯+ana1−1+a2−1+⋯+an−1=an\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}； (3) 证明：当 n=5n = 5 时，a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5 成等比数列.

2009 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式为 an=pn+qa_{n} = pn + q（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，p>0p > 0）. 数列 {bm}\{b_{m}\} 定义如下：对于正整数 mm，bmb_{m} 是使得不等式 an⩾ma_{n} \geqslant m 成立的所有 nn 中的最小值.
(1) 若 p=12p = \frac{1}{2}，q=−13q = -\frac{1}{3}，求 b3b_{3}； (2) 若 p=2p = 2，q=−1q = -1，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 2m2m 项和公式； (3) 是否存在 pp 和 qq，使得 bm=3m+2b_{m} = 3m + 2（m∈N∗m \in \mathbf{N}^{*}）？ 如果存在，求 pp 和 qq 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

2009 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
对于每项均是正整数的数列 AA： a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，定义变换 T1T_1 将数列 AA 变换成数列 T1 ⁣(A)T_1\!\left(A\right)： nn，a1−1a_1 - 1，a2−1a_2 - 1，⋯\cdots，an−1a_n - 1. 对于每项均是非负整数的数列 BB： b1b_1，b2b_2，⋯\cdots，bmb_m，定义变换 T2T_2 将数列 BB 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 T2 ⁣(B)T_2\!\left(B\right)；又定义 S ⁣(B)=2(b1+2b2+⋯+mbm)+b12+b22+⋯+bm2S\!\left(B\right) = 2(b_1 + 2b_2 + \cdots + mb_m) + b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_m^2. 设 A0A_0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+1=T2 ⁣(T1 ⁣(Ak))A_{k+1} = T_2\!\left(T_1\!\left(A_k\right)\right)（k=0k = 0，11，22，⋯\cdots）.
(1) 如果数列 A0A_0 为 55，33，22，写出数列 A1A_1，A2A_2； (2) 对于每项均是正整数的有穷数列 AA，证明 S ⁣(T1 ⁣(A))=S ⁣(A)S\!\left(T_1\!\left(A\right)\right) = S\!\left(A\right)； (3) 证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0A_0，存在正整数 KK，当 k⩾Kk \geqslant K 时，S(Ak+1)=S(Ak)S(A_{k+1}) = S(A_k).
\begin{solution} \begin{enumerate} \item T1(A0)=(3,4,2,1)T_1(A_0)=(3,4,2,1)，按从大到小排列并去掉零项后，A1=(4,3,2,1)A_1=(4,3,2,1). 再有 T1(A1)=(4,3,2,1,0)T_1(A_1)=(4,3,2,1,0)，所以 A2=(4,3,2,1)A_2=(4,3,2,1). \item 设 A=(a1,a2,…,an)A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)，则 T1(A)=(n,a1−1,a2−1,…,an−1)T_1(A)=(n,a_1-1,a_2-1,\ldots,a_n-1). 直接展开 SS 得 S(T1(A))=2[n+∑i=1n(i+1)(ai−1)]+n2+∑i=1n(ai−1)2S\left(T_1(A)\right)=2\left[n+\sum_{i=1}^{n}(i+1)(a_i-1)\right]+n^2+\sum_{i=1}^{n}(a_i-1)^2. 展开后，aia_i 的一次项为 2(i+1)ai−2ai=2iai2(i+1)a_i-2a_i=2ia_i，平方项为 ∑i=1nai2\sum_{i=1}^n a_i^2，常数项为 2n−2∑i=1n(i+1)+n2+n2n-2\sum_{i=1}^{n}(i+1)+n^2+n. 又 ∑i=1n(i+1)=n(n+3)2\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\frac{n(n+3)}2，所以该常数项等于 2n−n(n+3)+n2+n=02n-n(n+3)+n^2+n=0. 因此 S(T1(A))=2∑i=1niai+∑i=1nai2=S(A)S\left(T_1(A)\right)=2\sum_{i=1}^{n}ia_i+\sum_{i=1}^{n}a_i^2=S(A). \item 对任意非负整数数列 B=(b1,…,bm)B=(b_1,\ldots,b_m)，交换相邻的逆序项 bi<bi+1b_i<b_{i+1} 后，平方和不变，而加权和的变化为
ibi+(i+1)bi+1−(ibi+1+(i+1)bi)=bi+1−bi>0i b_i+(i+1)b_{i+1}-\bigl(i b_{i+1}+(i+1)b_i\bigr)=b_{i+1}-b_i>0
这里左边是交换前的加权和，右边是交换后的加权和，所以每次交换都会使 SS 严格减小；将所有逆序项交换后，数列按从大到小排列，故排序不会增加 SS. 排序后所有零项位于末尾，去掉零项也不改变 SS，从而 S(T2(B))⩽S(B)S(T_2(B))\leqslant S(B). 结合第（2）问，对 AkA_k 有
S(Ak+1)=S(T2(T1(Ak)))⩽S(T1(Ak))=S(Ak)S(A_{k+1})=S\left(T_2(T_1(A_k))\right)\leqslant S\left(T_1(A_k)\right)=S(A_k)
由于每个 AkA_k 都是非负整数项数列去掉零项后得到的正整数项数列，故 S(Ak)S(A_k) 是非负整数. 单调不增的非负整数列不可能无限次严格下降，因此从某个正整数 KK 起不再下降，即对所有 k⩾Kk\geqslant K，都有 S(Ak+1)=S(Ak)S(A_{k+1})=S(A_k). \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=(n2+n−λ)ana_{n+1} = (n^2 + n - \lambda)a_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots），λ\lambda 是常数.
(1) 当 a2=−1a_{2} = -1 时，求 λ\lambda 及 a3a_{3} 的值； (2) 数列 {an}\{a_n\} 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； (3) 求 λ\lambda 的取值范围，使得存在正整数 mm，当 n>mn > m 时总有 an<0a_{n} < 0.

2008 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1}=2，an+1=an+cna_{n+1}=a_{n}+cn（cc 是常数，n=1n=1，22，33，⋯\cdots）. 且 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成公比不为 11 的等比数列.
(1) 求 cc 的值. (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2007 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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