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共找到 72 题
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组题
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08数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n}-S_n=n，a3=6a_3=6，则 a7+a8=a_7+a_8=（ ）
A.
6868
B.
5656
C.
−3-3
D.
−4-4

2026 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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19数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，a2=b1+b2a_2=b_1+b_2，a4=b3−b1a_4=b_3-b_1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 En={x∈R∣x≤n, ∃k∈N∗, x=ak 或 x=bk}E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数.
(i) 求 c3nc_{3^n}； (ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m.

2026 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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06数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 Sn=−n2+8nS_n=-n^2+8n，则数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 12 项和为（ ）
A.
112
B.
48
C.
80
D.
64

2025 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

2025 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 是公比大于 0 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=1a_1=1，S2=a3−1S_2=a_3-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n； (2) 设 bn=kb_n=k（n=akn=a_k），bn=bn−1+2kb_n=b_{n-1}+2k（ak<n<ak+1a_k<n<a_{k+1}），其中 k∈N∗k\in \mathbb N^*.
(i) 当 k≥2k\ge 2，n=ak+1n=a_{k+1} 时，求证：bn−1≥akbnb_{n-1}\ge a_k b_n； (ii) 求 ∑i=1Snbi\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i.

2024 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，an+1=2Sn+2a_{n+1}=2S_n+2，则 a4=a_4=（ ）
A.
3
B.
18
C.
54
D.
152

2023 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，a2+a5=16a_2+a_5=16，a5−a3=4a_5-a_3=4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式和 ∑i=2n−12n−1ai\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i； (2) 已知 {bn}\{b_n\} 为等比数列，对于任意 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*，若 2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^k-1，则 bk<an<bk+1b_k<a_n<b_{k+1}.
(i) 当 k≥2k\ge 2 时，求证：2k−1<bk<2k+12^k-1<b_k<2^k+1； (ii) 求 {bn}\{b_n\} 的通项公式及其前 nn 项和.

2023 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2021 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=1a_1=b_1=1，a5=5(a4−a3)a_5=5\left( a_4-a_3 \right)，b5=4(b4−b3)b_5=4\left( b_4-b_3 \right).
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：SnSn+2<Sn+12S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (3) 对任意的正整数 nn，设 cn=(3an−2)bnanan+2c_n=\dfrac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}（nn 为奇数），cn=an−1bn+1c_n=\dfrac{a_{n-1}}{b_{n+1}}（nn 为偶数），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 2n2n 项和.

2020 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列. 已知 a1=4a_1=4，b1=6b_1=6，b2=2a2−2b_2=2a_2-2，b3=2a3+4b_3=2a_3+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足 c1=1c_1=1，
cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_n=\begin{cases} 1, & 2^k<n<2^{k+1},\\ b_k, & n=2^k, \end{cases}
其中 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*.
(i) 求数列 {a2n(c2n−1)}\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\} 的通项公式； (ii) 求 ∑i=12naici\sum_{i=1}^{2^n} a_ic_i（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00. 已知 a1=b1=3a_1=b_1=3，b2=a3b_2=a_3，b3=4a2+3b_3=4a_2+3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足：当 nn 为奇数时，cn=1c_n=1；当 nn 为偶数时，cn=bn2c_n=b_{\frac{n}{2}}. 求 a1c1+a2c2+⋯+a2nc2na_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 SnS_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是等差数列. 已知 a1=1a_1=1，a3=a2+2a_3=a_2+2，a4=b3+b5a_4=b_3+b_5，a5=b4+2b6a_5=b_4+2b_6.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），
(i) 求 TnT_n； (ii) 证明 ∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2 （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2018 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，其前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）；{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 TnT_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.已知 b1=1b_1=1，b3=b2+2b_3=b_2+2，b4=a3+a5b_4=a_3+a_5，b5=a4+2a6b_5=a_4+2a_6.
(1) 求 SnS_n 和 TnT_n； (2) 若 Sn+(T1+T2+⋯+Tn)=an+4bnS_n+(T_1+T_2+\cdots+T_n)=a_n+4b_n，求正整数 nn 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中 t1t_1，t2t_2，t3∈Rt_3\in\mathbf{R}，且 t1t_1，t2t_2，t3t_3 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 若 t2=0t_2=0，d=1d=1，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 d=3d=3，求 f(x)f(x) 的极值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63y=-(x-t_2)-6\sqrt3 有三个互异的公共点，求 dd 的取值范围.

2018 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nb2n−1}\{a_{2n}b_{2n-1}\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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04数列★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 1919，则输出 NN 的值为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2017 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nbn}\{a_{2n}b_n\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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05集合与逻辑基础★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等比数列，公比为 qq，则“q<0q<0”是“对任意的正整数 nn，a2n−1+a2n<0a_{2n-1}+a_{2n}<0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等差数列，公差为 dd，对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，bnb_n 是 ana_n 和 an+1a_{n+1} 的等比中项.
(1) 设 cn=bn+12−bn2c_n=b_{n+1}^2-b_n^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：数列 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 设 a1=da_1=d，Tn=∑k=12n(−1)kbk2T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k b_k^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：∑k=1n1Tk<12d2\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{T_k}<\dfrac1{2d^2}.

2016 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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11数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*），且 1a1−1a2=2a3\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{2}{a_3}，S6=63S_6=63.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，bnb_n 是 log⁡2an\log_2 a_n 和 log⁡2an+1\log_2 a_{n+1} 的等差中项，求数列 {(−1)nbn2}\{(-1)^n b_n^2\} 的前 2n2n 项和.

2016 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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03数列★★☆☆☆
阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为（ ）
A.
−10-10
B.
6
C.
14
D.
18

2015 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+2=qana_{n + 2} = qa_{n}（qq 为实数，且 q≠1q \neq 1），n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 a2+a3a_{2} + a_{3}，a3+a4a_{3} + a_{4}，a4+a5a_{4} + a_{5} 成等差数列.
(1) 求 qq 的值和 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2a2na2n−1b_{n}=\frac{\log_{2}a_{2n}}{a_{2n-1}}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，{bn}\{b_{n}\} 是等差数列，且 a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b2+b3=2a3b_{2} + b_{3} = 2a_{3}，a5−3b2=7a_{5} - 3b_{2} = 7.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 设 cn=anbnc_{n} = a_{n}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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