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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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126分数列★★★★☆
设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak⋅2kn=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_k\cdot 2^k，其中 ai∈{0,1}a_i\in \{0,1\}，记 ω(n)=a0+a1+⋯+ak\omega\left( n \right)=a_0+a_1+\cdots +a_k. 则（ ）
\begin{answer} ACD \end{answer}
A.
ω(2n)=ω(n)\omega\left( 2n \right)=\omega\left( n \right)
B.
ω(2n+3)=ω(n)+1\omega\left( 2n+3 \right)=\omega\left( n \right)+1
C.
ω(8n+5)=ω(4n+3)\omega\left( 8n+5 \right)=\omega\left( 4n+3 \right)
D.
ω(2n−1)=n\omega\left( 2^n-1 \right)=n

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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03数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S3=6S_{3} = 6，a1=4a_{1} = 4，则公差 dd 等于（ ）
\begin{solution} 等差数列前三项为a1=4a_1=4，a2=4+da_2=4+d，a3=4+2da_3=4+2d.由题设
S3=a1+a2+a3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6S_3=a_1+a_2+a_3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6
解得唯一公差d=−2d=-2. 回代得前三项为44，22，00，其和为66，满足题设. 选项 A、B、C、D 分别为11，53\frac{5}{3}，22，33，均不等于−2-2，故四个选项均不正确. \end{solution}
A.
11
B.
53\frac{5}{3}
C.
22
D.
33

2009 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 多选题

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