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09数列★★☆☆☆
设 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S4=0S_4=0，a5=5a_5=5，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
an=2n−5a_n=2n-5
B.
an=3n−10a_n=3n-10
C.
Sn=2n2−8nS_n=2n^2-8n
D.
Sn=n2−2nS_n=n^2-2n

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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09数列★★☆☆☆
如图是求 12+12+12\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}} 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
A=12+AA=\dfrac{1}{2+A}
B.
A=2+1AA=2+\dfrac{1}{A}
C.
A=11+2AA=\dfrac{1}{1+2A}
D.
A=1+12AA=1+\dfrac{1}{2A}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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05数列★★☆☆☆
已知各项均为正数的等比数列 {an}\{a_n\} 的前 44 项和为 1515，且 a5=3a3+4a1a_5=3a_3+4a_1，则 a3=a_3=（ ）
A.
1616
B.
88
C.
44
D.
22

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 ε\varepsilon 为 0.010.01，则输出 ss 的值等于（ ）
A.
2−1242-\dfrac1{2^4}
B.
2−1252-\dfrac1{2^5}
C.
2−1262-\dfrac1{2^6}
D.
2−1272-\dfrac1{2^7}

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1≠0a_1\ne0，a2=3a1a_2=3a_1，则 S10S5=‾\dfrac{S_{10}}{S_5}=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
已知各项均为正数的等比数列 {an}\{a_n\} 的前 44 项和为 1515，且 a5=3a3+4a1a_5=3a_3+4a_1，则 a3=a_3=（ ）
A.
1616
B.
88
C.
44
D.
22

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 ε\varepsilon 为 0.010.01，则输出 ss 的值等于（ ）
A.
2−1242-\dfrac1{2^4}
B.
2−1252-\dfrac1{2^5}
C.
2−1262-\dfrac1{2^6}
D.
2−1272-\dfrac1{2^7}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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14数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a3=5a_3=5，a7=13a_7=13，则 S10=S_{10}=______.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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02数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2019 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 若 a2=−3a_2=-3，S5=−10S_5=-10，则 a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}，SnS_n 的最小值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，从中选取第 i1i_1 项，第 i2i_2 项，…，第 imi_m 项（i1<i2<⋯<imi_1<i_2<\cdots<i_m），若 ai1<ai2<⋯<aima_{i_1}<a_{i_2}<\cdots<a_{i_m}，则称新数列 ai1a_{i_1}，ai2a_{i_2}，…\dots，aima_{i_m} 为 {an}\{a_n\} 的长度为 mm 的递增子列. 规定：数列 {an}\{a_n\} 的任意一项都是 {an}\{a_n\} 的长度为 11 的递增子列.
(1) 写出数列 11，88，33，77，55，66，99 的一个长度为 44 的递增子列； (2) 已知数列 {an}\{a_n\} 的长度为 pp 的递增子列的末项的最小值为 am0a_{m_0}，长度为 qq 的递增子列的末项的最小值为 an0a_{n_0}. 若 p<qp<q，求证：am0<an0a_{m_0}<a_{n_0}； (3) 设无穷数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正整数，且任意两项均不相等. 若 {an}\{a_n\} 的长度为 ss 的递增子列末项的最小值为 2s−12s-1，且长度为 ss 末项为 2s−12s-1 的递增子列恰有 2 s−12^{\,s-1} 个（s=1s=1，22，…\dots），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2019 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

2019 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列. 已知 a1=4a_1=4，b1=6b_1=6，b2=2a2−2b_2=2a_2-2，b3=2a3+4b_3=2a_3+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足 c1=1c_1=1，
cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_n=\begin{cases} 1, & 2^k<n<2^{k+1},\\ b_k, & n=2^k, \end{cases}
其中 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*.
(i) 求数列 {a2n(c2n−1)}\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\} 的通项公式； (ii) 求 ∑i=12naici\sum_{i=1}^{2^n} a_ic_i（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00. 已知 a1=b1=3a_1=b_1=3，b2=a3b_2=a_3，b3=4a2+3b_3=4a_2+3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足：当 nn 为奇数时，cn=1c_n=1；当 nn 为偶数时，cn=bn2c_n=b_{\frac{n}{2}}. 求 a1c1+a2c2+⋯+a2nc2na_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，且满足 Sn+an=2S_n+a_n=2，则 S5=S_5=______.

2019 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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02数列★☆☆☆☆
计算 lim⁡n→∞2n2−3n+1n2−4n+1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2-3n+1}{n^2-4n+1}=______.

2019 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\}，a1=3a_1=3，前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，且 a4=15a_4=15，求 SnS_n； (2) 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，且 lim⁡n→∞Sn<12\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n<12，求公比 qq 的取值范围.

2019 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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