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145分数列★★★☆☆
将数列 {2n−1}\{2n-1\} 与 {3n−2}\{3n-2\} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}\{a_n\}，则 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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155分数列★★☆☆☆
将数列 {2n−1}\{2n-1\} 与 {3n−2}\{3n-2\} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}\{a_n\}，则 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为______.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 11 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1anan+1a_1a_2-a_2a_3+\cdots+(-1)^{n-1}a_na_{n+1}.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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10数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，且 a1+a2+a3=1a_1+a_2+a_3=1，a2+a3+a4=2a_2+a_3+a_4=2，则 a6+a7+a8=a_6+a_7+a_8=（ ）
A.
1212
B.
2424
C.
3030
D.
3232

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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04数列★★★☆☆
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 99 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 99 块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多 99 块，向外每环依次也增加 99 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A.
36993699 块
B.
34743474 块
C.
34023402 块
D.
33393339 块

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，am+n=amana_{m+n}=a_m a_n. 若 ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215−25a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^5，则 k=k=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a5−a3=12a_5-a_3=12，a6−a4=24a_6-a_4=24，则 Snan=\dfrac{S_n}{a_n}=（ ）
A.
2n−12^n-1
B.
2−21−n2-2^{1-n}
C.
2−2n−12-2^{n-1}
D.
21−n−12^{1-n}-1

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−2a_1=-2，a2+a6=2a_2+a_6=2，则 S10=‾S_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，an+1=3an−4na_{n+1}=3a_n-4n.
(1) 计算 a2a_2，a3a_3，猜想 {an}\{a_n\} 的通项公式并加以证明； (2) 求数列 {2nan}\{2^na_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=4a_1+a_2=4，a3−a1=8a_3-a_1=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为数列 {log⁡3an}\{\log_3 a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm+Sm+1=Sm+3S_m+S_{m+1}=S_{m+3}，求 mm.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=1a_1=b_1=1，a5=5(a4−a3)a_5=5\left( a_4-a_3 \right)，b5=4(b4−b3)b_5=4\left( b_4-b_3 \right).
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：SnSn+2<Sn+12S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (3) 对任意的正整数 nn，设 cn=(3an−2)bnanan+2c_n=\dfrac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}（nn 为奇数），cn=an−1bn+1c_n=\dfrac{a_{n-1}}{b_{n+1}}（nn 为偶数），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 2n2n 项和.

2020 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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02数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞n+13n−1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1}=______.

2020 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，且 a1+a10=a9a_1+a_{10}=a_9，则 a1+a2+⋯+a9a10\frac{a_1+a_2+\cdots+a_9}{a_{10}}=______.

2020 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 各项均为实数，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^* 满足 an+3=ana_{n+3}=a_n，且行列式
∣anan+1an+2an+3∣=c\begin{vmatrix}a_n&a_{n+1}\\a_{n+2}&a_{n+3}\end{vmatrix}=c
为定值，则下列选项中不可能的是（ ）.
A.
a1=1,c=1a_1=1,c=1
B.
a1=2,c=2a_1=2,c=2
C.
a1=−1,c=4a_1=-1,c=4
D.
a1=2,c=0a_1=2,c=0

2020 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_n\}，其前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1=1.
(1) 若数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，S10=70S_{10}=70，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 为等比数列，a4=18a_4=\dfrac{1}{8}，求满足 Sn>100anS_n>100a_n 时 nn 的最小值.

2020 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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11数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列. 已知数列 {an+bn}\{a_n+b_n\} 的前 nn 项和 Sn=n2−n+2n−1S_n=n^2-n+2^n-1（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），则 d+qd+q 的值是______.

2020 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，公差 d≠0d\neq0，且 a1d≤1\dfrac{a_1}{d}\le1. 记 b1=S2b_1=S_2，bn+1=S2n+2−S2nb_{n+1}=S_{2n+2}-S_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），下列等式不可能成立的是（ ）
A.
2a4=a2+a62a_4=a_2+a_6
B.
2b4=b2+b62b_4=b_2+b_6
C.
a42=a2a8a_4^2=a_2a_8
D.
b42=b2b8b_4^2=b_2b_8

2020 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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