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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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126分数列★★★★☆
设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak⋅2kn=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_k\cdot 2^k，其中 ai∈{0,1}a_i\in \{0,1\}，记 ω(n)=a0+a1+⋯+ak\omega\left( n \right)=a_0+a_1+\cdots +a_k. 则（ ）
\begin{answer} ACD \end{answer}
A.
ω(2n)=ω(n)\omega\left( 2n \right)=\omega\left( n \right)
B.
ω(2n+3)=ω(n)+1\omega\left( 2n+3 \right)=\omega\left( n \right)+1
C.
ω(8n+5)=ω(4n+3)\omega\left( 8n+5 \right)=\omega\left( 4n+3 \right)
D.
ω(2n−1)=n\omega\left( 2^n-1 \right)=n

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1715分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3=S5a_3=S_5，a2a4=S4a_2a_4=S_4.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式 ana_n； (2) 求使 Sn>anS_n>a_n 成立的 nn 的最小值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，设甲：q>0q>0，乙：{Sn}\{S_n\} 是递增数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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09数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 S2=4S_2=4，S4=6S_4=6，则 S6=S_6=（ ）
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06数列★★☆☆☆
《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种. 这五种规格党旗的长 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5（单位：cm\mathrm{cm}）成等差数列，对应的宽为 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4，b5b_5（单位：cm\mathrm{cm}），且长与宽之比都相等. 已知 a1=288a_1=288，a5=96a_5=96，b1=192b_1=192，则 b3=b_3=（ ）
A.
64
B.
96
C.
128
D.
160

2021 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为整数的递增数列，且 a1≥3a_1\ge3. 若 a1+a2+a3+⋯+an=100a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100，则 nn 的最大值为（ ）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12

2021 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2021 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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08数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为无穷等比数列，a1=3a_1=3，ana_n 的各项和为 99，bn=a2nb_n=a_{2n}，则数列 {bn}\{b_n\} 的各项和为______.

2021 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

2021 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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01数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=3a_1=3，d=2d=2，则 a10=‾a_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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09数列★★★☆☆
在无穷等比数列 {an}\{a_n\} 中，lim⁡n→∞(a1−an)=4\lim\limits_{n\to\infty}(a_1-a_n)=4，则 a2a_2 的取值范围为______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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12三角函数★★★★★
已知 θ>0\theta>0，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^*，总存在实数 φ\varphi，使得 cos⁡(nθ+φ)<32\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}，则 θ\theta 的最小值是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an≥0a_n\ge0，对任意 n≥2n\ge2，ana_n 和 an+1a_{n+1} 中存在一项使其为另一项与 an−1a_{n-1} 的等差中项.
(1) 已知 a1=5a_1=5，a2=3a_2=3，a4=2a_4=2，求 a3a_3 的所有可能取值； (2) 已知 a1=a4=a7=0a_1=a_4=a_7=0，a2a_2，a5a_5，a8a_8 为正数，证明：a2a_2，a5a_5，a8a_8 成等比数列，并求公比 qq； (3) 已知数列中恰有 33 项为 00，即 ar=as=at=0a_r=a_s=a_t=0，2<r<s<t2<r<s<t，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，求 ar+1+as+1+at+1a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1} 的最大值.

2021 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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09数列★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，函数 f(x)=ax2+bf(x)=ax^{2}+b（x∈Rx\in\mathbf{R}）. 若 f(s−t)f(s-t)，f(s)f(s)，f(s+t)f(s+t) 成等比数列，则平面上点 (s,t)(s,t) 的轨迹是（ ）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线
D.
直线和抛物线

2021 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an+1=an1+ana_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）， 记数列前 nn 项和为 SnS_n. 则（ ）
A.
12<S100<3\frac{1}{2}<S_{100}<3
B.
3<S100<43<S_{100}<4
C.
4<S100<924<S_{100}<\frac{9}{2}
D.
92<S100<5\frac{9}{2}<S_{100}<5

2021 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，a1=−94a_1=-\frac{9}{4}，且 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1}=3S_n-9.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 设 {bn}\{b_n\} 满足 3bn+(n−4)an=03b_n+(n-4)a_n=0（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），记其前 nn 项和为 TnT_n. 若 Tn≤λbnT_n\le\lambda b_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 恒成立，求 λ\lambda 的取值范围.

2021 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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