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04高考真题5分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S5=S10S_5 = S_{10}, a5=1a_5 = 1, 则 a1=a_1 = （ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
73\dfrac{7}{3}
C.
−13-\dfrac{1}{3}
D.
−711-\dfrac{7}{11}

2024全国甲卷(理) · 第 4 题 · 选择题

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05高考真题5分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=1S_9 = 1, 则 a3+a7=a_3 + a_7 = （ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
29\dfrac{2}{9}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
23\dfrac{2}{3}

2024全国甲卷(文) · 第 5 题 · 选择题

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08高考真题5分数列★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x) > f(x-1) + f(x-2), 且当 x<3x < 3 时 f(x)=xf(x) = x, 则下列结论中一定正确的是 ( )
A.
f(10)>100f(10) > 100
B.
f(20)>1000f(20) > 1000
C.
f(10)<1000f(10) < 1000
D.
f(20)<10000f(20) < 10000

2024新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 bb 是 a,ca, c 的等差中项, 直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0 交于 A,BA, B 两点, 则 ∣AB∣|AB| 的最小值为 （ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

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12高考真题5分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a3+a4=7,3a2+a5=5a_3 + a_4 = 7, 3a_2 + a_5 = 5, 则 S10=S_{10} =______.

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 1010 的等比数列, 底面直径依次为 65 mm,325 mm,325 mm65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}, 且斛量器的高为 230 mm230\text{ mm}, 则斗量器的高为 ______ mm\text{mm}, 升量器的高为 ______ mm\text{mm}。(不计量器的厚度)

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15高考真题5分数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 M={k∣ak=bk;k∈N∗}M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}, 给出下列四个结论: ① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列, 则 MM 中最多有 11 个元素; ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列, 则 MM 中最多有 22 个元素; ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列, {bn}\{b_n\} 为等比数列, 则 MM 中最多有 33 个元素; ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列, {bn}\{b_n\} 为递减数列, 则 MM 中最多有 11 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

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17高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 2Sn=3an+1−32S_n = 3a_{n+1} - 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式;
(2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

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18高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 4Sn=3an+44S_n = 3a_n + 4. (1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式; (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n = (-1)^{n-1} n a_n, 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

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19高考真题17分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=m(m>0)C: x^2 - y^2 = m (m > 0), 点 P1(5,4)P_1(5, 4) 在 CC 上, kk 为常数, 0<k<10 < k < 1. 构造点 PnP_n: 过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}, 令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点.
(1) 若 k=12k = \frac{1}{2}, 求 x2,y2x_2, y_2;
(2) 证明: {xn−yn}\{x_n - y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列;
(3) 证明: 对于任意正整数 nn, △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积 Sn=Sn+1S_n = S_{n+1}.

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19高考真题17分数列★★★★★
设 mm 为正整数, 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是公差不为 00 的等差数列, 若从中删去两项 aia_i 和 aj (i<j)a_j\ (i<j) 后剩余的 4m4m 项可被平均分为 mm 组, 且每组的 44 个数都能构成等差数列, 则称数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有的 (i,j)(i,j), 1≤i<j≤61 \le i < j \le 6, 使数列 a1,a2,…,a6a_1, a_2, \ldots, a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列;
(2) 当 m≥3m \ge 3 时, 证明: 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列;
(3) 从 1,2,…,4m+21, 2, \ldots, 4m+2 中一次任取两个数 ii 和 j (i<j)j\ (i<j), 记数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m, 证明: Pm>18P_m > \frac{1}{8}.

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21高考真题15分数列★★★★★
集合 MM 包含特定四元组。对数列 AA 进行变换 Ω(A)\Omega(A)。
(1) 计算给定 AA 和 Ω\Omega 的结果; (2) 判断是否存在 Ω\Omega 使得 AA 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 Ω(A)\Omega(A) 各项相等的充要条件。

2024北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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