设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 $M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}$, 给出下列四个结论: ① 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为等差数列, 则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素; ② 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为等比数列, 则 $M$ 中最多有 $2$ 个元素; ③ 若 $\{a_n\}$ 为等差数列, $\{b_n\}$ 为等比数列, 则 $M$ 中最多有 $3$ 个元素; ④ 若 $\{a_n\}$ 为递增数列, $\{b_n\}$ 为递减数列, 则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

集合 $M$ 包含特定四元组。对数列 $A$ 进行变换 $\Omega(A)$。

(1) 计算给定 $A$ 和 $\Omega$ 的结果; (2) 判断是否存在 $\Omega$ 使得 $A$ 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 $\Omega(A)$ 各项相等的充要条件。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = \frac{1}{4}(a_n - 6)^3 + 6$ ($n = 1, 2, 3, \dots$), 则 （ ）

已知数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 的项数均为 $m$ ($m > 2$), 且 $a_n, b_n \in \{1, 2, \dots, m\}$, $\{a_n\}, \{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n, B_n$, 并规定 $A_0 = B_0 = 0$。对于 $k \in \{0, 1, 2, \dots, m\}$, 定义 $r_k = \max \{i \mid B_i \le A_k, i \in \{0, 1, 2, \dots, m\}\}$。

(1) 若 $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 3$, 写出 $r_0, r_1, r_2, r_3$ 的值；

(2) 若 $a_1 \ge b_1$, 且 $2r_j \le r_{j+1} + r_{j-1}$, $j = 1, 2, \dots, m-1$, 求 $r_n$；

(3) 证明：存在 $p, q, s, t \in \{0, 1, 2, \dots, m\}$, 满足 $p > q, s > t$, 使得 $A_p + B_t = A_q + B_s$。

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $a_n \cdot S_n = 9 \ (n = 1, 2, \ldots)$。给出下列四个结论: ① $\{a_n\}$ 的第 2 项小于 3; ② $\{a_n\}$ 为等比数列; ③ $\{a_n\}$ 为递减数列; ④ $\{a_n\}$ 中存在小于 $\dfrac{1}{100}$ 的项。 其中所有正确结论的序号是 ______$

已知 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为有穷整数数列, 给定正整数 $m$, 若对任意的 $n \in \{1, 2, \ldots, m\}$, 在 $Q$ 中存在 $a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{i+j} \ (j \geqslant 0)$, 使得 $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots + a_{i+j} = n$, 则称为 $m$-连续可表数列。 (1) 判断 $Q: 2, 1, 4$ 是否为 5-连续可表数列? 是否为 6-连续可表数列? 说明理由; (2) 若 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为 8-连续可表数列, 求证: $k$ 的最小值为 4; (3) 若 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为 20-连续可表数列, $a_1 + a_2 + \cdots + a_k < 20$, 求证: $k \geqslant 7$。