已知等差数列 $\{a_n\}$ 和等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_1 = b_1 = 2$, $a_2 = b_2 + 1$, $a_3 = b_3$。

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式;

(2) 给定 $n \in \mathbb{N}^*$, 记集合 $I = \{0, 1\}$, 集合 $T_n = \{p_1a_1b_1 + p_2a_2b_2 + \cdots + p_na_nb_n \mid p_1, p_2, \cdots, p_n \in I\}$。

① 求证: 对任意的 $t \in T_n$, 有 $t < a_{n+1}b_{n+1}$;

② 求 $T_n$ 中所有元素之和。

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 $10$ 的等比数列, 底面直径依次为 $65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}$, 且斛量器的高为 $230\text{ mm}$, 则斗量器的高为 ______ $\text{mm}$, 升量器的高为 ______ $\text{mm}$。(不计量器的厚度)

已知双曲线 $C: x^2 - y^2 = m (m > 0)$, 点 $P_1(5, 4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 构造点 $P_n$: 过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点.

(1) 若 $k = \frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$;

(2) 证明: $\{x_n - y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列;

(3) 证明: 对于任意正整数 $n$, $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积 $S_n = S_{n+1}$.