设 $n$ 为正整数，集合 $A=\left\{(t_1,t_2,\ldots,t_n)\mid t_i\in\{0,1\},\ i=1,2,\ldots,n\right\}$. 对于集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 和 $\beta=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$，记 $M(\alpha,\beta)=\frac12\sum_{i=1}^n\bigl(x_i+y_i-|x_i-y_i|\bigr)$.

(1) 当 $n=3$ 时，若 $\alpha=(1,1,0)$，$\beta=(0,1,1)$，求 $M(\alpha,\alpha)$ 和 $M(\alpha,\beta)$ 的值； (2) 当 $n=4$ 时，设 $B$ 是 $A$ 的子集，且满足：对于 $B$ 中的任意元素 $\alpha$，$\beta$，当 $\alpha$，$\beta$ 相同时，$M(\alpha,\beta)$ 是奇数；当 $\alpha$，$\beta$ 不同时，$M(\alpha,\beta)$ 是偶数. 求集合 $B$ 中元素个数的最大值； (3) 给定不小于 $2$ 的 $n$，设 $B$ 是 $A$ 的子集，且满足：对于 $B$ 中的任意两个不同的元素 $\alpha$，$\beta$，$M(\alpha,\beta)=0$. 写出一个集合 $B$，使其元素个数最多，并说明理由.

已知集合 $S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}$ （$n \geqslant 2$），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$，$B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)$； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$.

(1) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，有 $A - B \in S_n$，且 $d(A - C, B - C) = d(A, B)$； (2) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，$d(A, B)$，$d(A, C)$，$d(B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 $P \subseteq S_n$，$P$ 中有 $m$（$m \geqslant 2$） 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{d}(P)$. 证明： $\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}$.

已知集合 $S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}$（$n \geqslant 2$），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$，$B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)$； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$.

(1) 当 $n = 5$ 时，设 $A = (0, 1, 0, 0, 1)$，$B = (1, 1, 1, 0, 0)$，求 $A - B$，$d(A, B)$； (2) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，有 $A - B \in S_n$，且 $d(A - C, B - C) = d(A, B)$； (3) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，$d(A, B)$，$d(A, C)$，$d(B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数.

已知数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$ （$1 \leqslant a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$，$n \geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i$，$j$ （$1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$），$a_{i} a_{j}$ 与 $\frac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$.

(1) 分别判断集数 $\{1, 3, 4\}$ 与 $\{1, 2, 3, 6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由； (2) 证明：$a_{1}=1$，且 $\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$； (3) 证明：当 $n = 5$ 时，$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$ 成等比数列.

已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}$（$k \geqslant 2$），其中 $a_{i} \in \mathbf{Z}$（$i = 1$，$2$，$\cdots$，$k$）. 由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：$S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}$；$T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}$，其中 $(a, b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$. 若对于任意的 $a \in A$，总有 $-a \notin A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$.

(1) 检验集合 $\{0, 1, 2, 3\}$ 与 $\{-1, 2, 3\}$ 是否具有性质 $P$，并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$. (2) 对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$，证明：$n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}$. (3) 判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论.

记关于 $x$ 的不等式 $\frac{x - a}{x + 1} < 0$ 的解集为 $P$，不等式 $|x - 1| \leqslant 1$ 的解集为 $Q$.

(1) 若 $a = 3$，求 $P$. (2) 若 $Q \subseteq P$，求正数 $a$ 的取值范围.