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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是边长为 4 的正方形，PA=PB=4PA=PB=4，PC=PD=22PC=PD=2\sqrt{2}，该棱锥的高为（ ）
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素. 安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形. 若 AB=25mAB=25\text{m}，BC=AD=10mBC=AD=10\text{m}，且等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\dfrac{\sqrt{14}}{5}，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A.
102m102\text{m}
B.
112m112\text{m}
C.
117m117\text{m}
D.
125m125\text{m}

2023 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6，SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合. 设集合 T={Q∈S∣PQ≤5}T=\{Q\in S\mid PQ\le 5\}，则 TT 表示的区域的面积为（ ）.
A.
3π4\frac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

2022 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A.
32+32\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}
B.
3+33+\sqrt3
C.
32+3\dfrac{3}{2}+\sqrt3
D.
3+323+\dfrac{\sqrt3}{2}

2021 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发，渗漏，流失而在水面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm\mathrm{mm}）. 24 h24\,\mathrm{h} 降雨量的等级划分如下：
等级24 h24\,\mathrm{h} 降雨量（精确到 0.10.1）
小雨0.1∼9.90.1\sim9.9
中雨10.0∼24.910.0\sim24.9
大雨25.0∼49.925.0\sim49.9
暴雨50.0∼99.950.0\sim99.9
⋯\cdots⋯\cdots
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 mm200\,\mathrm{mm}，高为 300 mm300\,\mathrm{mm} 的圆锥形雨量器. 若一次降雨过程中，该雨量器收集的 24 h24\,\mathrm{h} 的雨水高度是 150 mm150\,\mathrm{mm}（如图所示），则这 24 h24\,\mathrm{h} 降雨量的等级是（ ）
A.
小雨
B.
中雨
C.
大雨
D.
暴雨

2021 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A.
6+36+\sqrt3
B.
6+236+2\sqrt3
C.
12+312+\sqrt3
D.
12+2312+2\sqrt3

2020 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A.
323\sqrt2
B.
232\sqrt3
C.
222\sqrt2
D.
22

2017 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
6060
B.
3030
C.
2020
D.
1010

2017 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
11

2016 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
设 α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，mm 是直线且 m⊂αm \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta 是“α∥β\alpha \parallel \beta”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 α∥β\alpha\parallel\beta，则 α\alpha 内任意直线都与平面 β\beta 平行，因此 α∥β\alpha\parallel\beta 能推出 m∥βm\parallel\beta，所以前者是后者的必要条件.
反之，若 α\alpha 与 β\beta 相交，取 mm 为 α\alpha 内平行于交线 α∩β\alpha\cap\beta 的直线，则 m∥βm\parallel\beta，但 α\alpha 不平行于 β\beta. 因此该条件不是充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面为 △ABC\triangle ABC，由三视图可还原出 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，且 PC=1PC=1. 设 DD 是 ABAB 的中点，则 AB=2AB=2、AD=BD=1AD=BD=1、CD=2CD=2，且 CD⊥ABCD\perp AB. 因而 S△ABC=12×2×2=2S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2，AC=BC=12+22=5AC=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. 又因为 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，所以 PC⊥ACPC\perp AC、PC⊥BCPC\perp BC，从而
S△PAC=S△PBC=12×1×5=52S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt5=\frac{\sqrt5}{2}
在直角三角形 PCDPCD 中，PD=PC2+CD2=5PD=\sqrt{PC^2+CD^2}=\sqrt5. 又 AB⊥PCAB\perp PC、AB⊥CDAB\perp CD，而 PCPC、CDCD 是平面 PCDPCD 内相交的两条直线，所以 AB⊥AB\perp 平面 PCDPCD，从而 PD⊥ABPD\perp AB. 因此 S△PAB=12×2×5=5S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt5=\sqrt5. 三棱锥的表面积为 2+5+52+52=2+252+\sqrt5+\frac{\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5}{2}=2+2\sqrt5，故选 C. \end{solution}
A.
2+52 + \sqrt{5}
B.
4+54 + \sqrt{5}
C.
2+252 + 2\sqrt{5}
D.
55

2015 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2015 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在空间直角坐标系 OxyzOxyz 中，已知 A(2,0,0)A(2,0,0)，B(2,2,0)B(2,2,0)，C(0,2,0)C(0,2,0)，D(1,1,2)D(1,1,\sqrt{2})，若 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 分别表示三棱锥 D−ABCD-ABC 在 xOyxOy，yOzyOz，zOxzOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A.
S1=S2=S3S_{1} = S_{2} = S_{3}
B.
S1=S2S_{1} = S_{2} 且 S3≠S1S_{3}\neq S_{1}
C.
S1=S3S_{1} = S_{3} 且 S3≠S2S_{3}\neq S_{2}
D.
S2=S3S_{2} = S_{3} 且 S1≠S3S_{1}\neq S_{3}

2014 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 为对角线 BD1BD_{1} 的三等分点，PP 到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A.
33 个
B.
44 个
C.
55 个
D.
66 个

2013 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）
A.
88
B.
626\sqrt{2}
C.
1010
D.
828\sqrt{2}

2011 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A.
3232
B.
16+16216 + 16\sqrt{2}
C.
4848
D.
16+32216 + 32\sqrt{2}

2011 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上，动点 PP，QQ 分别在棱 ADAD，CDCD 上，若 EF=1EF = 1，A1E=xA_{1}E = x，DQ=yDQ = y，DP=zDP = z（xx，yy，z>0z > 0），则四面体 PEFQPEFQ 的体积（ ）
A.
与 xx，yy，zz 都有关
B.
与 xx 有关，与 yy，zz 无关
C.
与 yy 有关，与 xx，zz 无关
D.
与 zz 有关，与 xx，yy 无关

2010 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上. 点 QQ 是棱 CDCD 的中点，动点 PP 在棱 ADAD 上，若 EF=1EF = 1，DP=xDP = x，A1E=yA_{1}E = y（xx，yy 大于零），则三棱锥 P−EFQP - EFQ 的体积（ ）
A.
与 x,yx, y 都有关
B.
与 xx，yy 都无关
C.
与 xx 有关，与 yy 无关
D.
与 yy 有关，与 xx 无关

2010 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面边长为 11，AB1AB_{1} 与底面 ABCDABCD 成 60∘60^{\circ} 角，则 A1C1A_{1}C_{1} 到底面 ABCDABCD 的距离为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 h=BB1h=BB_1. 由于 AB1AB_1 在底面上的射影为 ABAB，且 AB=1AB=1，所以 tan⁡60∘=BB1AB=h\tan 60^\circ=\dfrac{BB_1}{AB}=h，得 h=3h=\sqrt3. 直线 A1C1A_1C_1 平行于底面 ABCDABCD，且位于距底面 hh 的平面内，因此 A1C1A_1C_1 到底面 ABCDABCD 的距离为 3\sqrt3，故选 D. \end{solution}
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2009 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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