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18立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，AB=AC=2AB=AC=2，BB1=2BB_1=\sqrt{2}，EE，DD 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 证明：DE//平面 BB1C1CDE // \text{平面}\, BB_1C_1C； (2) 点 PP 在平面 A1B1C1A_1B_1C_1 内，且 EP//B1C1EP//B_1C_1，再从条件\circled1\circled{1}，条件\circled2\circled{2}，条件\circled3\circled{3}这三个条件中选择一个作为已知，使得 PP 唯一确定，求平面 PADPAD 与平面 PDEPDE 的夹角的余弦值.
条件\circled1\circled{1}：PA=PDPA=PD；
条件\circled2\circled{2}：PA⊥BCPA\perp BC；
条件\circled3\circled{3}：BB1//平面 PDEBB_1 // \text{平面}\, PDE.

2026 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD，△ACD\triangle ACD 与 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，EE 为 BCBC 中点.
(1) FF 为 PDPD 中点，GG 为 PEPE 中点，证明 FG∥FG\parallel 平面 PABPAB； (2) 若 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD， PA=AC\ PA=AC，求 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值.

2025 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，BC∥ADBC\parallel AD，AB=BC=1AB=BC=1，AD=3AD=3，点 EE 在 ADAD 上，且 PE⊥ADPE\perp AD，PE=DE=2PE=DE=2.
(1) 若 FF 为线段 PEPE 中点，求证：BF∥平面 PCDBF\parallel \text{平面 }PCD； (2) 若 AB⊥平面 PADAB\perp \text{平面 }PAD，求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值.

2024 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥平面 ABCPA\perp \text{平面 }ABC，PA=AB=BC=1PA=AB=BC=1，PC=3PC=\sqrt{3}.
(1) 求证：BC⊥平面 PABBC\perp \text{平面 }PAB； (2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小.

2023 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形，平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，AB=BC=2AB=BC=2，MM，NN 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 再从下列两个条件中选择一个作为已知，求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值.
① AB⊥MNAB\perp MN； ② BM=MNBM=MN.

2022 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 A1D1A_1D_1 的中点，B1C1B_1C_1 与平面 CDECDE 交于点 FF.
(1) 求证：FF 为 B1C1B_1C_1 中点； (2) 若 MM 是棱 A1B1A_1B_1 上一点，且二面角 M−FC−EM-FC-E 的余弦值为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，求 A1MA1B1\dfrac{A_1M}{A_1B_1} 的值.

2021 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 BB1BB_1 的中点.
(1) 求证：BC1∥BC_1\parallel 平面 AD1EAD_1E； (2) 求直线 AA1AA_1 与平面 AD1EAD_1E 所成角的正弦值.

2020 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 PP-ABCDABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥CDAD\perp CD，AD∥BCAD\parallel BC，PA=AD=CD=2PA=AD=CD=2，BC=3BC=3. EE 为 PDPD 的中点，点 FF 在 PCPC 上，且 PFPC=13\dfrac{PF}{PC}=\dfrac13.
(1) 求证：CD⊥CD\perp 平面 PADPAD； (2) 求二面角 FF-AEAE-PP 的余弦值； (3) 设点 GG 在 PBPB 上，且 PGPB=23\dfrac{PG}{PB}=\dfrac23. 判断直线 AGAG 是否在平面 AEFAEF 内，说明理由.

2019 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 为菱形，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：BD⊥BD\perp 平面 PACPAC； (2) 若 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ，求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PAEPAE； (3) 棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 CF∥CF\parallel 平面 PAEPAE？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，DD，EE，FF，GG 分别为 AA1AA_1，ACAC，A1C1A_1C_1，BB1BB_1 的中点，AB=BC=5AB=BC=\sqrt5，AC=AA1=2AC=AA_1=2.
(1) 求证：AC⊥AC\perp 平面 BEFBEF； (2) 求二面角 B−CD−C1B-CD-C_1 的余弦值； (3) 证明：直线 FGFG 与平面 BCDBCD 相交.

2018 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，EE，FF 分别为 ADAD，PBPB 的中点.
(1) 求证：PE⊥BCPE\perp BC； (2) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PCDPCD； (3) 求证：EF∥EF\parallel 平面 PCDPCD.

2018 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，点 MM 在线段 PBPB 上，PD∥PD\parallel 平面 MACMAC，PA=PD=6PA=PD=\sqrt6，AB=4AB=4.
(1) 求证：MM 为 PBPB 的中点； (2) 求二面角 B−PD−AB-PD-A 的大小； (3) 求直线 MCMC 与平面 BDPBDP 所成角的正弦值.

2017 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥ABPA\perp AB，PA⊥BCPA\perp BC，AB⊥BCAB\perp BC，PA=AB=BC=2PA=AB=BC=2，DD 为线段 ACAC 的中点，EE 为线段 PCPC 上一点.
(1) 求证：PA⊥BDPA\perp BD； (2) 求证：平面 BDE⊥BDE\perp 平面 PACPAC； (3) 当 PA∥PA\parallel 平面 BDEBDE 时，求三棱锥 E−BCDE-BCD 的体积.

2017 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，AB⊥ADAB\perp AD，AB=1AB=1，AD=2AD=2，AC=CD=5AC=CD=\sqrt5.
(1) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PABPAB； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值； (3) 在棱 PAPA 上是否存在点 MM，使得 BM∥BM\parallel 平面 PCDPCD？若存在，求 AMAP\dfrac{AM}{AP} 的值，若不存在，说明理由.

2016 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PC⊥PC\perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB\parallel DC，DC⊥ACDC\perp AC.
(1) 求证：DC⊥DC\perp 平面 PACPAC； (2) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (3) 设点 EE 为 ABAB 的中点，在棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 PA∥PA\parallel 平面 CEFCEF？说明理由.

2016 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−EFCBA-EFCB 中，△AEF\triangle AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥AEF \perp 平面 EFCBEFCB，EF∥BCEF \parallel BC，BC=4BC=4，EF=2aEF=2a，∠EBC=∠FCB=60∘\angle EBC=\angle FCB=60^\circ，OO 为 EFEF 的中点.
(1) 求证：AO⊥BEAO \perp BE； (2) 求二面角 F−AE−BF-AE-B 的余弦值； (3) 若 BE⊥BE \perp 平面 AOCAOC，求 aa 的值.

2015 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 V−ABCV-ABC 中，平面 VAB⊥VAB \perp 平面 ABCABC，△VAB\triangle VAB 为等边三角形，AC⊥BCAC \perp BC 且 AC=BC=2AC = BC = \sqrt{2}，OO，MM 分别为 ABAB，VAVA 的中点.
(1) 求证：VB∥VB\parallel 平面 MOCMOC； (2) 求证：平面 MOC⊥MOC\perp 平面 VABVAB； (3) 求三棱锥 V−ABCV-ABC 的体积.

2015 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 AMDEAMDE 的边长为 2，BB，CC 分别为 AMAM，MDMD 的中点，在五棱锥 PP-ABCDEABCDE 中，FF 为棱 PEPE 的中点，平面 ABFABF 与棱 PDPD，PCPC 分别交于点 GG，HH.
(1) 求证：AB∥FGAB \parallel FG. (2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDEABCDE，且 PA=AEPA = AE，求直线 BCBC 与平面 ABFABF 所成角的大小，并求线段 PHPH 的长.

2014 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BCAB \perp BC，AA1=AC=2AA_{1} = AC = 2，BC=1BC = 1，EE，FF 分别为 A1C1A_{1}C_{1}，BCBC 的中点.
(1) 求证：平面 ABEABE ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 求证：C1F∥C_{1}F \parallel 平面 ABEABE； (3) 求三棱锥 E-ABCE\text{-}ABC 的体积.

2014 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AA1C1CAA_{1}C_{1}C 是边长为 4 的正方形. 平面 ABC⊥ABC \perp 平面 AA1C1CAA_{1}C_{1}C，AB=3AB = 3，BC=5BC = 5.
(1) 求证： AA1⊥AA_{1} \perp 平面 ABCABC； (2) 求二面角 A1−BC1−B1A_{1} - BC_{1} - B_{1} 的余弦值； (3) 证明：在线段 BC1BC_{1} 上存在点 DD，使得 AD⊥A1BAD \perp A_{1}B，并求 BDBC1\frac{BD}{BC_{1}} 的值.

2013 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，AB⊥ADAB \perp AD，CD=2ABCD = 2AB，平面 PAD⊥PAD \perp 底面 ABCDABCD，PA⊥ADPA \perp AD，EE 和 FF 分别是 CDCD 和 PCPC 的中点.
求证：
(1) PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD； (2) BE∥BE \parallel 平面 PADPAD； (3) 平面 BEF⊥BEF \perp 平面 PCDPCD.

2013 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C=90^\circ，BC=3BC=3，AC=6AC=6. DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 上的点，且 DE∥BCDE\parallel BC，DE=2DE=2，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1C⊥CDA_1C \perp CD，如图 2.
(1) 求证：A1C⊥A_1C \perp 平面 BCDEBCDE； (2) 若 MM 是 A1DA_1D 的中点，求 CMCM 与平面 A1BEA_1BE 所成角的大小； (3) 线段 BCBC 上是否存在点 PP，使平面 A1DPA_1DP 与平面 A1BEA_1BE 垂直？说明理由.

2012 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，点 FF 为线段 CDCD 上的一点，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1F⊥CDA_1F \perp CD，如图 2.
(1) 求证：DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB； (2) 求证：A1F⊥BEA_1F\perp BE； (3) 线段 A1BA_1B 上是否存在点 QQ，使 A1C⊥平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEQ？说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，所以在折叠前 DE∥BCDE\parallel BC，折叠后 DEDE 和 BCBC 的位置均不变，仍有 DE∥BCDE\parallel BC. 又 BC⊂平面 A1CBBC\subset\text{平面 }A_1CB. 只需证明 DEDE 不在该平面内.
若 DE⊂平面 A1CBDE\subset\text{平面 }A_1CB，则平面 A1CBA_1CB 与折叠前的平面 ABCABC 都含有两条互相平行且不重合的直线 DEDE 和 BCBC，从而两平面重合，故 A1∈平面 ABCA_1\in\text{平面 }ABC. 由于 DE⊥ACDE\perp AC，且 DD 是 ACAC 的中点，点 AA 绕折痕 DEDE 后仍落在平面 ABCABC 内时只能处于原位置 AA 或关于 DEDE 的对称位置 CC. 这两种情形下 A1FA_1F 均与 CDCD 共线或退化，不可能满足 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 因此 DE⊄平面 A1CBDE\not\subset\text{平面 }A_1CB，所以 DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB.
\item 由 AC⊥BCAC\perp BC 且 DE∥BCDE\parallel BC，得 DE⊥ACDE\perp AC，从而 DE⊥CDDE\perp CD. 折叠保持折痕 DEDE 与边 ADAD 的夹角，所以 DE⊥A1DDE\perp A_1D. 直线 A1DA_1D 与 DCDC 在 DD 处相交，且都在平面 A1DCA_1DC 内，故 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC. 因为 F∈CDF\in CD，所以 A1F⊂平面 A1DCA_1F\subset\text{平面 }A_1DC，从而 DE⊥A1FDE\perp A_1F.
已知 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 过 FF 作直线 ℓ∥DE\ell\parallel DE. 直线 ℓ\ell 和 CDCD 是平面 BCDEBCDE 内过 FF 的两条相交直线，且 A1F⊥ℓA_1F\perp\ell、A1F⊥CDA_1F\perp CD，所以 A1F⊥平面 BCDEA_1F\perp\text{平面 }BCDE. 由于 BE⊂平面 BCDEBE\subset\text{平面 }BCDE，故 A1F⊥BEA_1F\perp BE.
\item 取 PP，QQ 分别为 A1CA_1C，A1BA_1B 的中点. 在三角形 A1CBA_1CB 中，PQ∥CBPQ\parallel CB，而 DE∥CBDE\parallel CB，所以 PQ∥DEPQ\parallel DE. 平面 DEQDEQ 含有过 QQ 且平行于 DEDE 的直线 PQPQ，故 P∈平面 DEQP\in\text{平面 }DEQ，从而平面 DEQ=平面 DEPDEQ=\text{平面 }DEP.
折叠保持长度，且 DD 是 ACAC 的中点，所以 A1D=AD=DCA_1D=AD=DC. 因而三角形 A1DCA_1DC 是以 A1CA_1C 为底边的等腰三角形；PP 是底边 A1CA_1C 的中点，所以 DP⊥A1CDP\perp A_1C. 由上一步知 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC，故 DE⊥A1CDE\perp A_1C. 又 PQ∥DEPQ\parallel DE，所以 PQ⊥A1CPQ\perp A_1C. 直线 DPDP 与 PQPQ 在 PP 处相交，且均在平面 DEPDEP 内，因此 A1C⊥平面 DEP=平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEP=\text{平面 }DEQ. 所以存在这样的点 QQ，可取 QQ 为 A1BA_1B 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 是菱形，AB=2AB = 2，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}.
(1) 求证：BD⊥BD \perp 平面 PACPAC； (2) 若 PA=ABPA = AB，求 PBPB 与 ACAC 所成角的余弦值； (3) 当平面 PBCPBC 与平面 PDCPDC 垂直时，求 PAPA 的长.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在底面菱形中，AB=AD=2AB=AD=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^{\circ}. 由平行四边形法则，取底面坐标 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(2,0,0)B=(2,0,0)，D=(1,3,0)D=(1,\sqrt3,0)，则 C=(3,3,0)C=(3,\sqrt3,0). 于是 BD→=(−1,3,0)\overrightarrow{BD}=(-1,\sqrt3,0)，AC→=(3,3,0)\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt3,0)，从而 BD→⋅AC→=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0，即 BD⊥ACBD\perp AC. 设 HH 为 BDBD 的中点，则 H=(32,32,0)=12CH=(\frac32,\frac{\sqrt3}{2},0)=\frac12C，所以 H∈AC⊂H\in AC\subset 平面 PACPAC，即 BDBD 与平面 PACPAC 相交于 HH. 又因为 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，过 HH 作直线 h∥PAh\parallel PA，则 BD⊥hBD\perp h. 因 ACAC 与 hh 是平面 PACPAC 内过 HH 的两条相交直线，且 BD⊥ACBD\perp AC、BD⊥hBD\perp h，故 BD⊥BD\perp 平面 PACPAC. \item 由 PA=AB=2PA=AB=2，可取 P=(0,0,2)P=(0,0,2). 于是 PB→=(2,0,−2)\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)，AC→=(3,3,0)\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt3,0). 因此 cos⁡∠(PB,AC)=PB→⋅AC→∣PB∣∣AC∣=6(22)(23)=64\cos\angle(PB,AC)=\dfrac{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|PB||AC|}=\dfrac6{(2\sqrt2)(2\sqrt3)}=\dfrac{\sqrt6}{4}. \item 设 PA=h>0PA=h>0，取 P=(0,0,h)P=(0,0,h). 平面 PBCPBC 的两个方向向量可取 PB→=(2,0,−h)\overrightarrow{PB}=(2,0,-h)，PC→=(3,3,−h)\overrightarrow{PC}=(3,\sqrt3,-h)，其法向量可取 n1=(3h,−h,23)\boldsymbol{n}_1=(\sqrt3h,-h,2\sqrt3). 平面 PDCPDC 的两个方向向量可取 PD→=(1,3,−h)\overrightarrow{PD}=(1,\sqrt3,-h)，PC→=(3,3,−h)\overrightarrow{PC}=(3,\sqrt3,-h)，其法向量可取 n2=(0,−2h,−23)\boldsymbol{n}_2=(0,-2h,-2\sqrt3).
两平面垂直等价于两法向量垂直，所以 n1⋅n2=2h2−12=0\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=2h^2-12=0. 由 h>0h>0，得 PA=h=6PA=h=\sqrt6. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 PABCPABC 中，PC⊥ABPC \perp AB，PA⊥BCPA \perp BC，点 DD，EE，FF，GG 分别是棱 APAP，ACAC，BCBC，PBPB 的中点.
(1) 求证：DE∥DE \parallel 平面 BCPBCP； (2) 求证：四边形 DEFGDEFG 为矩形； (3) 是否存在点 QQ，到四面体 PABCPABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

2011 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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