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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，平面四边形 ABCDABCD 中，AB=8AB=8，CD=3CD=3，AD=53AD=5\sqrt3，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ，点 EE，FF 满足 AE→=25AD→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}，AF→=12AB→\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 对折至 △PEF\triangle PEF，使得 PC=43PC=4\sqrt3.
(1) 证明：EF⊥PDEF\perp PD； (2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成二面角的正弦值.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 是两个平面，mm，nn 是两条直线，且 α∩β=m\alpha\cap\beta=m. 下列四个命题：
① 若 m∥nm\parallel n，则 n∥αn\parallel\alpha 或 n∥βn\parallel\beta； ② 若 m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha 或 n⊥βn\perp \beta； ③ 若 n∥αn\parallel\alpha，且 n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 nn 与 α\alpha 和 β\beta 所成的角相等，则 m⊥nm\perp n.
其中所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，母线长分别为 2(r2−r1)2\left( r_2-r_1 \right) 和 3(r2−r1)3\left( r_2-r_1 \right)，则圆台甲与乙的体积之比 V甲V乙=\dfrac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}}=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，BC∥ADBC\parallel AD，EF∥ADEF\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt{3}，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel平面 CDECDE； (2) 求二面角 F−BM−EF-BM-E 的正弦值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 为两个平面，mm，nn 为两条直线，且 α∩β=m\alpha\cap\beta=m. 下述四个命题：
① 若 m∥nm\parallel n，则 n∥αn\parallel\alpha 或 n∥βn\parallel\beta； ② 若 m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp\alpha 或 n⊥βn\perp\beta； ③ 若 n∥αn\parallel\alpha 且 n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 nn 与 α\alpha，β\beta 所成的角相等，则 m⊥nm\perp n.
其中所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，圆台甲，乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2-r_1)，3(r2−r1)3(r_2-r_1)，则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，EF∥ADEF\parallel AD，BC∥ADBC\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt3，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel 平面 CDECDE； (2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是边长为 4 的正方形，PA=PB=4PA=PB=4，PC=PD=22PC=PD=2\sqrt{2}，该棱锥的高为（ ）
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠，合，升，斗，斛五量合一的标准量器，其中升量器，斗量器，斛量器的形状均可视为圆柱. 若升，斗，斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65 mm65\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，且斛量器的高为 230 mm230\mathrm{~mm}，则斗量器的高为______ mm\mathrm{~mm}，升量器的高为______ mm\mathrm{~mm}.（不计量器的厚度）

2024 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，BC∥ADBC\parallel AD，AB=BC=1AB=BC=1，AD=3AD=3，点 EE 在 ADAD 上，且 PE⊥ADPE\perp AD，PE=DE=2PE=DE=2.
(1) 若 FF 为线段 PEPE 中点，求证：BF∥平面 PCDBF\parallel \text{平面 }PCD； (2) 若 AB⊥平面 PADAB\perp \text{平面 }PAD，求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值.

2024 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
B.
若 m⊥αm\perp \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
C.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n
D.
若 m⊥αm\perp \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n

2024 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为梯形，AB∥CDAB\parallel CD，A1A⊥A_1A\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥ABAD\perp AB，其中 AB=A1A=2AB=A_1A=2，AD=DC=1AD=DC=1. NN 是 B1C1B_1C_1 的中点，MM 是 DD1DD_1 的中点.
(1) 求证：D1N∥D_1N\parallel 平面 CB1MCB_1M； (2) 求平面 CB1MCB_1M 与平面 BB1CC1BB_1CC_1 的夹角余弦值； (3) 求点 BB 到平面 CB1MCB_1M 的距离.

2024 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

2024 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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14立体几何初步★★☆☆☆
空间中有两个不同的平面 α\alpha，β\beta 和两条不同的直线 mm，nn，则下列说法中正确的是（ ）.
A.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥βn\perp\beta
B.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，n⊥βn\perp\beta，则 m⊥nm\perp n
C.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n
D.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，m∥nm\parallel n，则 n∥βn\parallel\beta

2024 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PAPA，PBPB，PCPC 为圆锥三条母线，AB=ACAB=AC.
(1) 证明：PA⊥BCPA\perp BC； (2) 若圆锥侧面积为 3π\sqrt3\pi，BCBC 为底面直径，BC=2BC=2，求二面角 B−PA−CB-PA-C 的大小.

2024 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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