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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxcos⁡φ+2cos⁡ωxsin⁡φf(x)=2\sin \omega x\cos \varphi+2\cos \omega x\sin \varphi，ω>0\omega>0，∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}，f(x)f(x) 最小正周期为 π\pi，且 f(0)>0f(0)>0，f(π4)=1f\left( \frac{\pi}{4} \right)=1.
(1) 求 ω\omega，φ\varphi 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.

2026 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡A=−13\cos A=-\dfrac13，asin⁡C=42a\sin C=4\sqrt2.
(1) 求 cc； (2) 在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 BCBC 的高.
\circled1 a=6\text{\circled{1}} \, a=6，\circled2 bsin⁡C=1023\text{\circled{2}} \, b\sin C= \frac{10\sqrt2}{3}，\circled3 S△ABC=102\text{\circled{3}} \, S_{\triangle ABC}=10\sqrt2

2025 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，∠A\angle A 为钝角，a=7a=7，sin⁡2B=37bcos⁡B\sin 2B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B.
(1) 求 ∠A\angle A； (2) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 △ABC\triangle ABC 的面积.
① b=7b=7； ② cos⁡B=1314\cos B=\frac{13}{14}； ③ csin⁡A=532c\sin A=\frac{5\sqrt{3}}{2}.

2024 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxcos⁡φ+cos⁡ωxsin⁡φf(x)=\sin \omega x\cos \varphi+\cos \omega x\sin \varphi（ω>0\omega>0，∣φ∣<π2|\varphi|<\frac{\pi}{2}）.
(1) 若 f(0)=−32f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}，求 φ\varphi 的值； (2) 已知 f(x)f(x) 在区间 [−π3,2π3]\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，f(2π3)=1f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=1，再从条件 \circled1\circled{1}，条件 \circled2\circled{2}，条件 \circled3\circled{3} 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f(x)f(x) 存在，求 ω\omega，φ\varphi 的值.
条件 \circled1\circled{1}：f(π3)=2f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}；
条件 \circled2\circled{2}：f(−π3)=−1f\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1；
条件 \circled3\circled{3}：f(x)f(x) 在区间 [−π2,−π3]\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{3}\right] 上单调递减.

2023 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡2C=3sin⁡C\sin 2C=\sqrt3\sin C.
(1) 求 ∠C\angle C； (2) 若 b=6b=6，且 △ABC\triangle ABC 的面积为 636\sqrt3，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，c=2bcos⁡Bc=2b\cos B，C=2π3C=\dfrac{2\pi}{3}.
(1) 求 BB 的大小； (2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC\triangle ABC 存在且唯一确定，求 BCBC 边上中线的长.
① c=2bc=\sqrt2b； ② △ABC\triangle ABC 的周长为 4+234+2\sqrt3； ③ △ABC\triangle ABC 的面积为 334\dfrac{3\sqrt3}{4}.

2021 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a+b=11a+b=11，再从条件\circled1\circled{1}、条件\circled2\circled{2}这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1) aa 的值； (2) sin⁡C\sin C 和 △ABC\triangle ABC 的面积.
① c=7c=7，cos⁡A=−17\cos A=-\dfrac17； ② cos⁡A=18\cos A=\dfrac18，cos⁡B=916\cos B=\dfrac{9}{16}.

2020 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a=3，b−c=2b-c=2，cos⁡B=−12\cos B=-\dfrac12.
(1) 求 bb，cc 的值； (2) 求 sin⁡(B−C)\sin(B-C) 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a=3，b−c=2b-c=2，cos⁡B=−12\cos B=-\dfrac12.
(1) 求 bb，cc 的值； (2) 求 sin⁡(B+C)\sin(B+C) 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=7a=7，b=8b=8，cos⁡B=−17\cos B=-\dfrac17.
(1) 求 ∠A\angle A； (2) 求 ACAC 边上的高.

2018 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x+3sin⁡xcos⁡xf(x)=\sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [−π3,m]\left[-\dfrac\pi3,m\right] 上的最大值为 32\dfrac32，求 mm 的最小值.

2018 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，c=37ac=\dfrac37a.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 若 a=7a=7，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2017 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3cos⁡(2x−π3)−2sin⁡xcos⁡xf(x)=\sqrt3\cos\left(2x-\dfrac\pi3\right)-2\sin x\cos x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求证：当 x∈[−π4,π4]x\in\left[-\dfrac\pi4,\dfrac\pi4\right] 时，f(x)≥−12f(x)\ge-\dfrac12.

2017 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a2+c2=b2+2aca^2+c^2=b^2+\sqrt{2}ac.
(1) 求 ∠B\angle B 的大小； (2) 求 2cos⁡A+cos⁡C\sqrt{2}\cos A+\cos C 的最大值.

2016 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxcos⁡ωx+cos⁡2ωxf(x)=2\sin\omega x\cos\omega x+\cos2\omega x（ω>0\omega>0）的最小正周期为 π\pi.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间.

2016 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x2cos⁡x2−2sin⁡2x2f(x)=\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\sin^2\dfrac{x}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π,0]\left[-\pi,0\right] 上的最小值.

2015 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡x−23sin⁡2x2f(x) = \sin x - 2\sqrt{3}\sin^2\frac{x}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,2π3]\left[0, \frac{2\pi}{3}\right] 上的最小值.

2015 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠B=π3\angle B = \frac{\pi}{3}，AB=8AB = 8，点 DD 在 BCBC 上，且 CD=2CD = 2，cos⁡∠ADC=17\cos \angle ADC = \frac{1}{7}.
(1) 求 sin⁡∠BAD\sin \angle BAD. (2) 求 BDBD，ACAC 的长.

2014 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=3sin⁡(2x+π6)f(x) = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) 的部分图象如图所示.
(1) 写出 f(x)f(x) 的最小正周期及图中 x0x_0，y0y_0 的值； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π2,−π12]\left[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{12}\right] 上的最大值和最小值.

2014 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a = 3，b=26b = 2\sqrt{6}，∠B=2∠A\angle B = 2\angle A.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值. (2) 求 cc 的值.

2013 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(2cos⁡2x−1)sin⁡2x+12cos⁡4xf(x) = (2\cos^2 x - 1)\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 4x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期及最大值； (2) 若 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，且 f(α)=22f(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}，求 α\alpha 的值.

2013 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsin⁡xf(x)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间.

2012 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsin⁡xf(x) = \dfrac{(\sin x - \cos x)\sin 2x}{\sin x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由分母不能为零，得 sin⁡x≠0\sin x\ne0，所以定义域为 {x∣x≠kπ, k∈Z}\{x\mid x\ne k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\}. 在此定义域内，利用 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x，得
f(x)=2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)=sin⁡2x−cos⁡2x−1=2sin⁡(2x−π4)−1f(x)=2\cos x(\sin x-\cos x)=\sin2x-\cos2x-1 =\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-1
化简式的周期为 π\pi，所以 π\pi 是原函数的一个正周期. 另一方面，原函数的定义域排除了恰为 {kπ∣k∈Z}\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\} 的点；若 TT 是原函数的周期，则平移 TT 必须把这组不可取点保持不变，从而 TT 必须是 π\pi 的整数倍. 因此原函数的最小正周期为 π\pi.
\item 由上式可得 f′(x)=22cos⁡(2x−π4)f'(x)=2\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right). 函数递减时
cos⁡(2x−π4)<0\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)<0
即存在 k∈Zk\in\mathbf{Z}，使
2kπ+π2<2x−π4<2kπ+3π22k\pi+\frac{\pi}{2}<2x-\frac{\pi}{4}<2k\pi+\frac{3\pi}{2}
解得 kπ+3π8<x<kπ+7π8k\pi+\frac{3\pi}{8}<x<k\pi+\frac{7\pi}{8}. 端点处导数为零，但函数在端点及其间的每一点均有定义，故可将递减区间写成相应闭区间；这些区间也不包含被排除的 kπk\pi. 所以单调递减区间为 [kπ+3π8,kπ+7π8]\left[k\pi+\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{7\pi}{8}\right]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4cos⁡xsin⁡(x+π6)−1f(x) = 4\cos x\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π6,π4]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 利用和角公式， f(x)=4cos⁡x(32sin⁡x+12cos⁡x)−1=3sin⁡2x+cos⁡2x=2sin⁡(2x+π6)f(x)=4\cos x\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x\right)-1=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right). 因为正弦函数的最小正周期为 2π2\pi，所以 f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi. \item 令 u=2x+π6u=2x+\dfrac{\pi}{6}. 当 x∈[−π6,π4]x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right] 时，u∈[−π6,2π3]u\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}\right]，且 f(x)=2sin⁡uf(x)=2\sin u. 区间包含 u=π2u=\dfrac\pi2，故最大值为 2sin⁡π2=22\sin\dfrac\pi2=2. 端点处 2sin⁡(−π6)=−12\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-1，而另一端点值为 2sin⁡2π3=32\sin\dfrac{2\pi}3=\sqrt3，所以最小值为 −1-1. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4cos⁡xsin⁡(x+π6)−1f(x) = 4\cos x\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π6,π4]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2011 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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