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035分集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={sin⁡7π6,cos⁡5π3,tan⁡5π4}A=\left\{ \sin \frac{7\pi}{6},\cos \frac{5\pi}{3},\tan \frac{5\pi}{4} \right\}，B={−32,−12,1}B=\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1 \right\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−32,−12}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2} \right\}
B.
{−32,1}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},1 \right\}
C.
{−12,1}\left\{ -\frac{1}{2},1 \right\}
D.
{−32,−12,1}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1 \right\}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 3 题 · 选择题

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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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045分三角函数★★☆☆☆
若点 (a,0)(a,0)（a>0a>0）是函数 y=2tan⁡(x−π3)y=2\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right) 的图象的一个对称中心，则 aa 的最小值为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
4π3\frac{4\pi}{3}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 4 题 · 选择题

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116分三角函数★★★★★
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 14\frac{1}{4}，若 cos⁡2A+cos⁡2B+2sin⁡C=2\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2，cos⁡Acos⁡Bsin⁡C=14\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}，则（ ）
A.
sin⁡C=sin⁡2A+sin⁡2B\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B
B.
AB=2AB = \sqrt{2}
C.
sin⁡A+sin⁡B=62\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}
D.
AC2+BC2=3AC^2 + BC^2 = 3

2025 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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045分三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡(α+β)=m\cos(\alpha+\beta)=m，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2，则 cos⁡(α−β)=\cos(\alpha-\beta)=（ ）
A.
−3m-3m
B.
−m3-\frac{m}{3}
C.
m3\frac{m}{3}
D.
3m3m

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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075分三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为锐角，cos⁡α=1+54\cos\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}{4}，则 sin⁡α2=\sin\dfrac{\alpha}{2}=（ ）
A.
3−58\dfrac{3-\sqrt5}{8}
B.
−1+58\dfrac{-1+\sqrt5}{8}
C.
3−54\dfrac{3-\sqrt5}{4}
D.
−1+54\dfrac{-1+\sqrt5}{4}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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165分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)，如图，AA，BB 是直线 y=12y=\frac12 与曲线 y=f(x)y=f(x) 的两个交点，若 ∣AB∣=π6|AB|=\frac{\pi}{6}，则 f(π)=‾f(\pi)=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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1715分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt3，DD 为 BCBC 的中点，且 AD=1AD=1.
(1) 若 ∠ADC=π3\angle ADC=\dfrac{\pi}{3}，求 tan⁡B\tan B； (2) 若 b2+c2=8b^2+c^2=8，求 bb，cc.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=cos⁡(ωx+φ)f(x)=\cos \left( \omega x+\varphi \right)（ω>0\omega>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）的最小正周期为 TT，若 f(T)=32f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}，x=π9x=\frac{\pi}{9} 为 f(x)f(x) 的零点，则 ω\omega 的最小值为______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin \left( A-B \right)=\sin B\sin \left( C-A \right).
(1) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2； (2) 若 a=5a=5，cos⁡A=2531\cos A=\frac{25}{31}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin\left(A-B\right)=\sin B\sin\left(C-A\right).
(1) 若 A=2BA=2B，求 CC； (2) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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07三角函数★★☆☆☆
把函数 y=f(x)y=f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，得到函数 y=sin⁡(x−π4)y=\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) 的图像，则 f(x)=f(x)=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
sin⁡(−x2−7π12)\sin\left( -\frac{x}{2}-\frac{7\pi}{12} \right)
B.
sin⁡(x2+π12)\sin\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right)
C.
sin⁡(2x−7π12)\sin\left( 2x-\frac{7\pi}{12} \right)
D.
sin⁡(2x+π12)\sin\left( 2x+\frac{\pi}{12} \right)

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作. 其中第一题是测量海岛的高.
如图，点 EE，HH，GG 在水平线 ACAC 上，DEDE 和 FGFG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EGEG 称为“表距”，GCGC 和 EHEH 都称为“表目距”. GCGC 与 EHEH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 AB=AB=（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
表高×表距表目距的差+表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表高}
B.
表高×表距表目距的差−表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表高}
C.
表高×表距表目距的差+表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表距}
D.
表高×表距表目距的差−表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表距}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，面积为 3\sqrt3，B=60∘B=60^\circ，a2+c2=3aca^2+c^2=3ac，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡x3+cos⁡x3f(x)=\sin\dfrac{x}{3}+\cos\dfrac{x}{3} 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.
3π3\pi 和 2\sqrt2
B.
3π3\pi 和 22
C.
6π6\pi 和 2\sqrt2
D.
6π6\pi 和 22

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
cos⁡2π12−cos⁡25π12=\cos^2\dfrac{\pi}{12}-\cos^2\dfrac{5\pi}{12}=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
C.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，面积为 3\sqrt3，B=60∘B=60^\circ，a2+c2=3aca^2+c^2=3ac，则 b=b=______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left( \omega x+\dfrac{\pi}{6} \right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(0,π)\alpha\in\left( 0,\pi \right)，且 3cos⁡2α−8cos⁡α=53\cos 2\alpha-8\cos\alpha=5，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
B.
23\dfrac{2}{3}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
59\dfrac{\sqrt{5}}{9}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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