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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxcos⁡φ+2cos⁡ωxsin⁡φf(x)=2\sin \omega x\cos \varphi+2\cos \omega x\sin \varphi，ω>0\omega>0，∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}，f(x)f(x) 最小正周期为 π\pi，且 f(0)>0f(0)>0，f(π4)=1f\left( \frac{\pi}{4} \right)=1.
(1) 求 ω\omega，φ\varphi 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.

2026 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x)=\sin \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right).
(1) 求最小正周期； (2) 若 x∈[−π6,π12]x\in \left[ -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12} \right]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，sin⁡α=33\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha).

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19三角函数★★★★☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）.
(1) 当 ω=2\omega=2，f ⁣(π12)=0f\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=0，求函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处的切线方程； (2) 若函数 f(x)f(x) 的最小正周期为 3π3\pi，且 f(x)=22f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} 在区间 [0,2026π)[0,2026\pi) 上恰好有 1351 个解，求 φ\varphi 的取值范围.

2026 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡A=−13\cos A=-\dfrac13，asin⁡C=42a\sin C=4\sqrt2.
(1) 求 cc； (2) 在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 BCBC 的高.
\circled1 a=6\text{\circled{1}} \, a=6，\circled2 bsin⁡C=1023\text{\circled{2}} \, b\sin C= \frac{10\sqrt2}{3}，\circled3 S△ABC=102\text{\circled{3}} \, S_{\triangle ABC}=10\sqrt2

2025 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡B=3 bcos⁡Aa\sin B=\sqrt3\,b\cos A，c−2b=1c-2b=1，a=7a=\sqrt7.
(1) 求 AA； (2) 求 cc； (3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A+2B).

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 c=5c=5.
(1) 若 a4b=sin⁡Bsin⁡A\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}，C=π2C=\dfrac\pi2，求 aa； (2) 若 ab=20ab=20，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2025 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，∠A\angle A 为钝角，a=7a=7，sin⁡2B=37bcos⁡B\sin 2B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B.
(1) 求 ∠A\angle A； (2) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 △ABC\triangle ABC 的面积.
① b=7b=7； ② cos⁡B=1314\cos B=\frac{13}{14}； ③ csin⁡A=532c\sin A=\frac{5\sqrt{3}}{2}.

2024 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡B=916\cos B=\frac{9}{16}，b=5b=5，ac=23\frac{a}{c}=\frac23.
(1) 求 aa； (2) 求 sin⁡A\sin A； (3) 求 cos⁡(B−2A)\cos(B-2A) 的值.

2024 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)，ω>0\omega>0.
(1) 设 ω=1\omega=1，求 y=f(x)y=f(x)，x∈[0,π]x\in[0,\pi] 的值域； (2) a>πa>\pi（a∈Ra\in\mathbf{R}），f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，若在 x∈[π,a]x\in[\pi,a] 上恰有 33 个零点，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt3，DD 为 BCBC 的中点，且 AD=1AD=1.
(1) 若 ∠ADC=π3\angle ADC=\dfrac{\pi}{3}，求 tan⁡B\tan B； (2) 若 b2+c2=8b^2+c^2=8，求 bb，cc.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 b2+c2−a2cos⁡A=2\dfrac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2.
(1) 求 bcbc； (2) 若 acos⁡B−bcos⁡Aacos⁡B+bcos⁡A−bc=1\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1，求 △ABC\triangle ABC 面积.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ，AB=2AB=2，AC=1AC=1.
(1) 求 sin⁡∠ABC\sin \angle ABC； (2) 若 DD 为 BCBC 上一点，且 ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ，求 △ADC\triangle ADC 的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxcos⁡φ+cos⁡ωxsin⁡φf(x)=\sin \omega x\cos \varphi+\cos \omega x\sin \varphi（ω>0\omega>0，∣φ∣<π2|\varphi|<\frac{\pi}{2}）.
(1) 若 f(0)=−32f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}，求 φ\varphi 的值； (2) 已知 f(x)f(x) 在区间 [−π3,2π3]\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，f(2π3)=1f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=1，再从条件 \circled1\circled{1}，条件 \circled2\circled{2}，条件 \circled3\circled{3} 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f(x)f(x) 存在，求 ω\omega，φ\varphi 的值.
条件 \circled1\circled{1}：f(π3)=2f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}；
条件 \circled2\circled{2}：f(−π3)=−1f\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1；
条件 \circled3\circled{3}：f(x)f(x) 在区间 [−π2,−π3]\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{3}\right] 上单调递减.

2023 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 a=39a=\sqrt{39}，b=2b=2，∠A=120∘\angle A=120^\circ.
(1) 求 sin⁡B\sin B 的值； (2) 求 cc 的值； (3) 求 sin⁡(B−C)\sin(B-C).

2023 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边为 aa，bb，cc，其中 b=2b=2.
(1) 若 A+C=60∘A+C=60^\circ，且 a=2ca=2c，求边长 cc 的值； (2) 若 A−C=30∘A-C=30^\circ，a=2 csin⁡Aa=\sqrt2\,c\sin A，求 S△ABCS_{\triangle ABC}.

2023 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，分别以 aa，bb，cc 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1S_1，S2S_2，S3S_3. 已知 S1−S2+S3=32S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt3}{2}，sin⁡B=13\sin B=\frac13.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡Asin⁡C=23\sin A\sin C=\frac{\sqrt2}{3}，求 bb.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin \left( A-B \right)=\sin B\sin \left( C-A \right).
(1) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2； (2) 若 a=5a=5，cos⁡A=2531\cos A=\frac{25}{31}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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