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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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05平面向量★☆☆☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(6,k)\boldsymbol{b}=(6,k)，且 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 k=k=______.

2024 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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02平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(−2,3)\boldsymbol{a}=\left(-2,3\right)，b=(1,2)\boldsymbol{b}=\left(1,2\right)，则 a⋅b=‾\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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11平面向量★★★☆☆
已知平面非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 的模均为 λ\lambda，若 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，a⋅c=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2，b⋅c=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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04平面向量★☆☆☆☆
如图正方形 ABCDABCD 的边长为 33，求 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=______.

2021 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,2)\boldsymbol{a}=(1,0,2)，b=(2,1,0)\boldsymbol{b}=(2,1,0)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

2019 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
过 y2=4xy^2=4x 的焦点 FF 并垂直于 xx 轴的直线分别与 y2=4xy^2=4x 交于 AA，BB，AA 在 BB 上方，MM 为抛物线上一点，OM→=λOA→+(λ−2)OB→\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}，则 λ=\lambda=______.

2019 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0)，EE，FF 是 yy 轴上的两个动点，且 ∣EF→∣=2\lvert\overrightarrow{EF}\rvert=2，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF} 的最小值为______.

2018 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 BP→⋅BA→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，已知点 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 OP→⋅BA→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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13平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，且 {∣a∣,∣b∣,∣c∣}={1,2,3}\{|\boldsymbol{a}|, |\boldsymbol{b}|, |\boldsymbol{c}|\} = \{1, 2, 3\}，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| 的最大值是______.

2015 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16平面向量★★☆☆☆
如图，44 个棱长为 11 的正方体排成一个正四棱柱，ABAB 是一条侧棱，PiP_{i} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 是上底面上其余的八个点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_{i}} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 的不同值的个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8

2014 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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14解析几何★★★★☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.
\begin{answer} [2,3][2,3] \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y)，则由曲线方程知 −2⩽x⩽0-2\leqslant x\leqslant0，且 QQ 在直线 x=6x=6 上. 向量等式等价于 P+Q=2A=(2m,0)P+Q=2A=(2m,0)，所以 Q=(6,−y)Q=(6,-y)，并且 2m=x+62m=x+6. 因此 m=x+62m=\dfrac{x+6}{2}，随 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 取遍 [2,3][2,3]. 反过来，左半圆上每个 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 都有相应的 yy，故区间内每个 mm 都能实现，所求范围为 [2,3][2,3]. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17平面向量★★☆☆☆
如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，ABAB 是大正方形的一边，PiP_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 是小正方形的其余顶点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 的不同值的个数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 以 AA 为原点，令 ABAB 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 A=(0,0)A=(0,0)、B=(0,2)B=(0,2)，且七个点的纵坐标分别只能为 00、11、22. 对任一点 Pi=(u,v)P_i=(u,v)，有 AB→=(0,2)\overrightarrow{AB}=(0,2)、APi→=(u,v)\overrightarrow{AP_i}=(u,v)，所以 AB→⋅APi→=2v\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v. 其不同值为 00、22、44，共 33 个，选 C. \end{solution}
A.
77
B.
55
C.
33
D.
11

2014 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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