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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 11，则 (a+b)⋅c=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=______；a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=______.

2021 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，点 PP 满足 AP→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)，则 ∣PD→∣=‾\left|\overrightarrow{PD}\right|=\underline{\hspace{2em}}；PB→⋅PD→=‾\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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09平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(−4,3)\boldsymbol{a}=(-4,3)，b=(6,m)\boldsymbol{b}=(6,m)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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09平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,0)\boldsymbol{a}=(1,0)，b=(−1,m)\boldsymbol{b}=(-1,m)，若 a⊥(ma−b)\boldsymbol{a}\perp(m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知点 PP 在圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 上，点 AA 的坐标为 (−2,0)(-2,0)，OO 为原点，则 AO→⋅AP→\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP} 的最大值为______.

2017 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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09平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a}=(1,\sqrt3)，b=(3,1)\boldsymbol{b}=(\sqrt3,1)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 夹角的大小为______.

2016 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 MM，NN 满足 AM→=2MC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}，BN→=NC→\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}. 若 MN→=xAB→+yAC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=x =______；y=y =______.
\begin{answer} x=12x=\dfrac{1}{2}，y=−16y=-\dfrac{1}{6} \end{answer}
\begin{solution} 由 AM→=2MC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}，得 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. 又由 BN→=NC→\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，得 NN 是 BCBC 的中点. 以 AA 为起点，用 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示位置向量，则 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AC}，AN→=AB→+12BC→=12AB→+12AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}. 于是
MN→=AN→−AM→=12AB→−16AC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB}-\frac16\overrightarrow{AC}
故 x=12x=\dfrac12，y=−16y=-\dfrac16. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，且 λa+b=0\lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = 0（λ∈R\lambda \in \mathbf{R}），则 ∣λ∣=|\lambda| =______.

2014 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa+μb\boldsymbol{c} = \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b}（λ\lambda，μ∈R\mu \in \mathbf{R}），则 λμ=\frac{\lambda}{\mu} =______.

2013 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知点 A(1,−1)A(1, -1)，B(3,0)B(3, 0)，C(2,1)C(2, 1). 若平面区域 DD 由所有满足 AP→=λAB→+μAC→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC} （1⩽λ⩽21 \leqslant \lambda \leqslant 2，0⩽μ⩽10 \leqslant \mu \leqslant 1） 的点 PP 组成. 则 DD 的面积为______.

2013 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 1，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}, 1)，b=(0,−1)\boldsymbol{b} = (0, -1)，c=(k,3)\boldsymbol{c} = (k, \sqrt{3}). 若 a−2b\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 k=k=______.

2011 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}, 1)，b=(0,−1)\boldsymbol{b} = (0, -1)，c=(k,3)\boldsymbol{c} = (k, \sqrt{3}). 若 a−2b\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 k=k =______.

2011 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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10平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=∣b∣=4|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 4，那么 b⋅(2a+b)\boldsymbol{b} \cdot (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) 的值为______.
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 由向量夹角公式，a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡120∘=4⋅4⋅(−12)=−8\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}=4\cdot4\cdot\left(-\frac12\right)=-8. 因此 b⋅(2a+b)=2a⋅b+b⋅b=2(−8)+42=0\boldsymbol{b}\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=2(-8)+4^2=0，故填 00. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=∣b∣=4|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 4，那么 a⋅b\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 的值为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2,4)，b=(1,1)\boldsymbol{b} = (1,1). 若向量 b⊥(a+λb)\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{b})，则实数 λ\lambda 的值是______.

2007 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b} = (\cos \beta, \sin \beta)，且 a≠±b\boldsymbol{a} \neq \pm \boldsymbol{b}，那么 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 的夹角的大小是______.

2006 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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