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共找到 49 题
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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，则（ ）
A.
“x=−3x=-3”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的必要条件
B.
“x=1+3x=1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的必要条件
C.
“x=0x=0”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的充分条件
D.
“x=−1+3x=-1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的充分条件

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，c=(1,1)\boldsymbol{c}=(1,1)，若 a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 x=x=（ ）
A.
52\dfrac52
B.
12\dfrac12
C.
−12-\dfrac12
D.
−52-\dfrac52

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 ∣a∣=∣b∣=1\lvert \boldsymbol{a} \rvert=\lvert \boldsymbol{b} \rvert=1，∣c∣=2\lvert \boldsymbol{c} \rvert=\sqrt{2}，且 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}，则 cos⁡(a−c,b−c)=\cos\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} \right)=（ ）
A.
−45-\frac45
B.
−25-\frac25
C.
25\frac25
D.
45\frac45

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a}=\left(3,1\right)，b=(2,2)\boldsymbol{b}=\left(2,2\right)，则 cos⁡(a+b,a−b)=\cos\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)=（ ）
A.
117\dfrac{1}{17}
B.
1717\dfrac{\sqrt{17}}{17}
C.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
D.
255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角的余弦值为 13\frac13，且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=3|\boldsymbol{b}|=3，则 (2a+b)⋅b=(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=______

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(m,3)\boldsymbol{a}=\left(m,3\right)，b=(1,m+1)\boldsymbol{b}=\left(1,m+1\right). 若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=m=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a}=(3,1)，b=(1,0)\boldsymbol{b}=(1,0)，c=a+kb\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}. 若 a⊥c\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=3，∣a−b∣=5|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=5，a⋅b=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=5|\boldsymbol{a}|=5，∣b∣=6|\boldsymbol{b}|=6，a⋅b=−6\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-6，则 cos⁡∠(a,a+b)=\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=（ ）
A.
−3135-\dfrac{31}{35}
B.
−1935-\dfrac{19}{35}
C.
1735\dfrac{17}{35}
D.
1935\dfrac{19}{35}

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
在平面内，AA，BB 是两个定点，CC 是动点. 若 AC→⋅BC→=1\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=1，则点 CC 的轨迹为（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
直线

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，若 c=2a−5 b\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-\sqrt5\,\boldsymbol{b}，则 cos⁡∠(a,c)=‾\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,2)\boldsymbol{a}=(2,2)，b=(−8,6)\boldsymbol{b}=(-8,6)，则 cos⁡⟨a,b⟩=\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=______.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a}=(1,2)，b=(2,−2)\boldsymbol{b}=(2,-2)，c=(1,λ)\boldsymbol{c}=(1,\lambda). 若 c∥(2a+b)\boldsymbol{c}\parallel (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a}=(1,2)，b=(2,−2)\boldsymbol{b}=(2,-2)，c=(1,λ)\boldsymbol{c}=(1,\lambda). 若 c∥(2a+b)\boldsymbol{c}\parallel\left(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)，则 λ=\lambda=______.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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10平面向量★★★★★
在平面内，定点 AA，BB，CC，DD 满足 ∣DA→∣=∣DB→∣=∣DC→∣\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|，且 DA→⋅DB→=DB→⋅DC→=DC→⋅DA→=−2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2，动点 PP，MM 满足 ∣AP→∣=1\left|\overrightarrow{AP}\right|=1，PM→=MC→\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则 ∣BM→∣2\left|\overrightarrow{BM}\right|^2 的最大值是（ ）
\begin{solution} 令 u=DA→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{DA}，v=DB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{DB}，w=DC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{DC}，并设 ∣u∣2=∣v∣2=∣w∣2=r2|\boldsymbol{u}|^2=|\boldsymbol{v}|^2=|\boldsymbol{w}|^2=r^2.三个向量共面，故其 Gram 行列式为零：
det⁡(r2−2−2−2r2−2−2−2r2)=(r2−4)(r2+2)2=0\det\begin{pmatrix}r^2&-2&-2\\-2&r^2&-2\\-2&-2&r^2\end{pmatrix}=(r^2-4)(r^2+2)^2=0
因 r2>0r^2>0，故 r2=4r^2=4.又
∣u+v+w∣2=3r2+2(−2−2−2)=0|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|^2=3r^2+2(-2-2-2)=0
所以 u+v+w=\bs0\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\bs0.
设 z=AP→\boldsymbol{z}=\overrightarrow{AP}，则 ∣z∣=1|\boldsymbol{z}|=1，且由于 MM 是 PCPC 的中点，
BM→=u+z+w2−v=z−3v2\overrightarrow{BM}=\frac{\boldsymbol{u}+\boldsymbol{z}+\boldsymbol{w}}{2}-\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{z}-3\boldsymbol{v}}{2}
于是
∣BM→∣2=14(∣z∣2+9∣v∣2−6z⋅v)=14(37−6z⋅v)|\overrightarrow{BM}|^2=\frac14\left(|\boldsymbol{z}|^2+9|\boldsymbol{v}|^2-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\right)=\frac14(37-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v})
由 z⋅v≥−∣z∣∣v∣=−2\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\geq-|\boldsymbol{z}||\boldsymbol{v}|=-2，得
∣BM→∣2≤37+124=494|\overrightarrow{BM}|^2\leq\frac{37+12}{4}=\frac{49}{4}
当 z\boldsymbol{z} 与 v\boldsymbol{v} 反向时取等号，所以最大值为 494\dfrac{49}{4}，选 B. \end{solution}
A.
434\dfrac{43}{4}
B.
494\dfrac{49}{4}
C.
37+634\dfrac{37+6\sqrt3}{4}
D.
37+2334\dfrac{37+2\sqrt{33}}{4}

2016 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
已知正三角形 ABCABC 的边长为 232\sqrt3，平面 ABCABC 内的动点 PP，MM 满足 ∣AP→∣=1\left| \overrightarrow{AP} \right|=1，PM→=MC→\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则 ∣BM→∣2\left| \overrightarrow{BM} \right|^2 的最大值是（ ）
A.
434\dfrac{43}{4}
B.
494\dfrac{49}{4}
C.
37+634\dfrac{37+6\sqrt3}{4}
D.
37+2334\dfrac{37+2\sqrt{33}}{4}

2016 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设四边形 ABCDABCD 为平行四边形，∣AB→∣=6\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6，∣AD→∣=4\left|\overrightarrow{AD}\right| = 4. 若点 MM，NN 满足 BM→=3MC→\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{MC}，DN→=2NC→\overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{NC}，则 AM→⋅NM→=\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NM} =（ ）
\begin{solution} 设 AB→=u\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{u}，AD→=v\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{v}，则 ∣u∣=6\lvert\boldsymbol{u}\rvert=6，∣v∣=4\lvert\boldsymbol{v}\rvert=4，并且 AC→=u+v\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}. 由内分关系得 AM→=u+34v\overrightarrow{AM}=\boldsymbol{u}+\dfrac34\boldsymbol{v}，AN→=23u+v\overrightarrow{AN}=\dfrac23\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}，所以 NM→=13u−14v\overrightarrow{NM}=\dfrac13\boldsymbol{u}-\dfrac14\boldsymbol{v}.
于是
AM→⋅NM→=13∣u∣2+(−14+14)u⋅v−316∣v∣2=12−3=9\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NM}=\frac13\lvert\boldsymbol{u}\rvert^{2}+ \left(-\frac14+\frac14\right)\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}-\frac{3}{16}\lvert\boldsymbol{v}\rvert^{2} =12-3=9
故选 C. \end{solution}
A.
2020
B.
1515
C.
99
D.
66

2015 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2,4) 与向量 b=(x,6)\boldsymbol{b} = (x,6) 共线，则实数 x=x =（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
66

2015 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
平面向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(4,2)\boldsymbol{b} = (4, 2)，c=ma+b\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（m∈Rm \in \mathbf{R}），且 c\boldsymbol{c} 与 a\boldsymbol{a} 的夹角等于 c\boldsymbol{c} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角，则 m=m =（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2014 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y). 则 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 两条动直线分别恒过 A=(0,0)A=(0,0) 和 B=(1,3)B=(1,3). 它们的法向量分别为 (1,m)(1,m) 和 (m,−1)(m,-1)，数量积为 m−m=0m-m=0，所以两直线始终垂直，即 ∠APB=90∘\angle APB=90^{\circ}. 因而 PP 在以 ABAB 为直径的圆上，且 ∣AB∣=(1−0)2+(3−0)2=10|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}，∣PA∣2+∣PB∣2=10|PA|^2+|PB|^2=10. 由基本不等式，
10⩽∣PA∣+∣PB∣⩽2(∣PA∣2+∣PB∣2)=25\sqrt{10}\leqslant |PA|+|PB|\leqslant\sqrt{2\left(|PA|^2+|PB|^2\right)}=2\sqrt5
联立两条直线方程可得
P=(m(m−3)m2+1,3−mm2+1)P=\left(\frac{m(m-3)}{m^2+1},\frac{3-m}{m^2+1}\right)
当 m=3m=3 或 m=−13m=-\frac13 时，分别有 P=AP=A 或 P=BP=B，下界可以取得；当 m=12m=\frac12 或 m=−2m=-2 时，分别有 P=(−1,2)P=(-1,2) 或 P=(2,1)P=(2,1)，均满足 ∣PA∣=∣PB∣=5|PA|=|PB|=\sqrt5，上界也可以取得. 故取值范围为 [10,25][\sqrt{10},2\sqrt5]，选 B. \end{solution}
A.
[5,25][\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]
B.
[10,25][\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]
C.
[10,45][\sqrt{10}, 4\sqrt{5}]
D.
[25,45][2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}]

2014 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
平面向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(4,2)\boldsymbol{b} = (4, 2)，c=ma+b\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（m∈Rm \in \mathbf{R}），且 c\boldsymbol{c} 与 a\boldsymbol{a} 的夹角等于 c\boldsymbol{c} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角，则 m=m =______. \begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 由 c=ma+b\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}，得 c=(m+4,2m+2)\boldsymbol{c}=(m+4,2m+2). 因为 ∣a∣=5|\boldsymbol{a}|=\sqrt5，∣b∣=25|\boldsymbol{b}|=2\sqrt5，且两夹角相等，所以
c⋅a∣c∣ ∣a∣=c⋅b∣c∣ ∣b∣\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{b}|}
即 2(c⋅a)=c⋅b2(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}. 计算得 c⋅a=5m+8\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=5m+8，qquadc⋅b=8m+20qquad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=8m+20. 故 2(5m+8)=8m+202(5m+8)=8m+20，解得 m=2m=2. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1ABB_{1}A_{1} 和 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 都为矩形.
(1) 若 AC⊥BCAC \perp BC，证明：直线 BC⊥BC \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 设 DD，EE 分别是线段 BCBC，CC1CC_{1} 的中点，在线段 ABAB 上是否存在一点 MM，使直线 DE∥DE \parallel 平面 A1MCA_{1}MC？请证明你的结论.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 u=AA1→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}，v=AB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}，w=AC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}. 由两个四边形为矩形，得 u⋅v=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0，u⋅w=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0. 又 BC→=w−v\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}，所以 BC→⋅u=0\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0，即 BC⊥AA1BC\perp AA_{1}. 已知 AC⊥BCAC\perp BC，而 ACAC 与 AA1AA_{1} 是平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 内相交的两条直线，因此 BC⊥BC\perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}. \item 取 MM 为 ABAB 的中点. 用上面的向量记号，有 DE→=12(u+w−v)\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)，A1M→=12v−u\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}，A1C→=w−u\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}. 从而
DE→=−A1M→+12A1C→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{A_{1}M}+\frac12\overrightarrow{A_{1}C}
右端是平面 A1MCA_{1}MC 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 DEDE 的方向平行于平面 A1MCA_{1}MC. 又因 ABCABC 是三角形，且 u\boldsymbol{u} 同时垂直于 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，故 u\boldsymbol{u}，v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w} 线性无关. 若 DD 在平面 A1MCA_{1}MC 内，则存在实数 λ\lambda，μ\mu，使
A1D→=12(v+w)−u=λ(12v−u)+μ(w−u)\overrightarrow{A_{1}D}=\frac12(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}=\lambda\left(\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\right)+\mu(\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u})
比较 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，u\boldsymbol{u} 的系数，分别得到 λ=1\lambda=1，μ=12\mu=\frac12，λ+μ=1\lambda+\mu=1，矛盾. 因此 DD 不在平面 A1MCA_{1}MC 内，故 DE∥DE\parallel 平面 A1MCA_{1}MC. 因此存在这样的点 MM，且它是线段 ABAB 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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