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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，BD=2DABD=2DA. 记 CA→=m\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}，CD→=n\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}，则 CB→=\overrightarrow{CB}=（ ）
A.
3m−2n3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}
B.
−2m+3n-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}
C.
3m+2n3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}
D.
2m+3n2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,−1)\boldsymbol{a}=(1,-1)，b=(m+1,2m−4)\boldsymbol{b}=(m+1,2m-4)，若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
若空间中 nn 个不同的点两两距离都相等，则正整数 nn 的取值（ ）
A.
至多等于 33
B.
至多等于 44
C.
等于 55
D.
大于 55

2015 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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16平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 m=(22,−22)\boldsymbol{m} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，n=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{n} = (\sin x, \cos x)，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，求 tan⁡x\tan x 的值； (2) 若 m\boldsymbol{m} 与 n\boldsymbol{n} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，求 xx 的值.

2015 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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09平面向量★☆☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知四边形 ABCDABCD 是平行四边形，AB→=(1,−2)\overrightarrow{AB} = \left(1, -2\right)，AD→=(2,1)\overrightarrow{AD} = \left(2, 1\right)，则 AD→⋅AC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2015 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,−1)\boldsymbol{a} = (1, 0, -1)，则下列向量中与 a\boldsymbol{a} 成 60∘60^{\circ} 角的是（ ）
A.
(−1,1,0)(-1, 1, 0)
B.
(1,−1,0)(1, -1, 0)
C.
(0,−1,1)(0, -1, 1)
D.
(−1,0,1)(-1, 0, 1)

2014 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(3,1)\boldsymbol{b} = (3, 1)，则 b−a=\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} =（ ）
A.
(−2,1)(-2, 1)
B.
(2,−1)(2, -1)
C.
(2,0)(2, 0)
D.
(4,3)(4, 3)

2014 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a} 是已知的平面向量且 a≠0\boldsymbol{a} \neq 0. 关于向量 a\boldsymbol{a} 的分解，有如下四个命题：
① 给定向量 b\boldsymbol{b}，总存在向量 c\boldsymbol{c}，使 a=b+c\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}. ② 给定向量 b\boldsymbol{b} 和 c\boldsymbol{c}，总存在实数 λ\lambda 和 μ\mu，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}； ③ 给定单位向量 b\boldsymbol{b} 和正数 μ\mu，总存在单位向量 c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}. ④ 给定正数 λ\lambda 和 μ\mu，总存在单位向量 b\boldsymbol{b} 和单位向量 c\boldsymbol{c}，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}.
上述命题中的向量 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和 a\boldsymbol{a} 在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2013 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=3BC = 3，BE⊥ACBE \perp AC，垂足为 EE，则 ED=ED =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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03平面向量★☆☆☆☆
若向量 BA→=(2,3)\overrightarrow{BA} = (2, 3)，CA→=(4,7)\overrightarrow{CA} = (4, 7)，则 BC→=\overrightarrow{BC} =（ ）
A.
(−2,−4)(-2, -4)
B.
(3,4)(3, 4)
C.
(6,10)(6, 10)
D.
(−6,−10)(-6, -10)

2012 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
对任意两个非零的平面向量 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta}，定义 α∘β=α⋅ββ⋅β\boldsymbol{\alpha} \circ \boldsymbol{\beta} = \frac{\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta}}. 若平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣≥∣b∣>0|\boldsymbol{a}| \ge |\boldsymbol{b}| > 0，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ∈(0,π4)\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)，且 a∘b\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} 和 b∘a\boldsymbol{b} \circ \boldsymbol{a} 都在集合 {n2∣n∈Z}\left\{ \frac{n}{2} \mid n \in \mathbf{Z} \right\} 中，则 a∘b=\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
52\frac{5}{2}

2012 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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