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共找到 39 题
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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣a+2b∣=2|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2，且 (b−2a)⊥b(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp \boldsymbol{b}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=（ ）
A.
12\frac12
B.
22\frac{\sqrt2}{2}
C.
32\frac{\sqrt3}{2}
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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045分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,4)\boldsymbol{a}=(3,4)，b=(1,0)\boldsymbol{b}=(1,0)，c=a+tb\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}，若 ⟨a,c⟩=⟨b,c⟩\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle \boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle，则 t=t=（ ）
A.
−6-6
B.
−5-5
C.
5
D.
6

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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106分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，过抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）焦点 FF 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，其中 AA 在第一象限，点 M(p,0)M(p,0). 若 ∣AF∣=∣AM∣|AF|=|AM|，则（ ）
A.
直线 ABAB 的斜率为 262\sqrt6
B.
∣OB∣=∣OF∣|OB|=|OF|
C.
∣AB∣>4∣OF∣|AB|>4|OF|
D.
∠OAM+∠OBM<180∘\angle OAM+\angle OBM<180^\circ

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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155分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a+b+c=\bs0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\bs 0，∣a∣=1\left| \boldsymbol{a} \right|=1，∣b∣=∣c∣=2\left| \boldsymbol{b} \right|=\left| \boldsymbol{c} \right|=2，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=‾\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −92-\frac{9}{2} \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 45∘45^\circ，ka−bk\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 垂直，则 k=k=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，则在下列向量中，与 b\boldsymbol{b} 垂直的是（ ）
A.
a+2b\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}
B.
2a+b2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}
C.
a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}
D.
2a−b2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知 AB→=(2,3)\overrightarrow{AB}=(2,3)，AC→=(3,t)\overrightarrow{AC}=(3,t)，∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}|=1，则 AB→⋅BC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
22
D.
33

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,3)\boldsymbol{a}=(2,3)，b=(3,2)\boldsymbol{b}=(3,2)，则 ∣a−b∣=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=（ ）
A.
2\sqrt2
B.
22
C.
525\sqrt2
D.
5050

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，a⋅b=−1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1，则 a⋅(2a−b)=\boldsymbol{a}\cdot(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
00

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1\lvert \boldsymbol{a}\rvert=1，a⋅b=−1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1，则 a⋅(2a−b)=\boldsymbol{a}\cdot(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=（ ）.
A.
44
B.
33
C.
22
D.
00

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=223∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|\boldsymbol{b}\right|，且 (a−b)⊥(3a+2b)(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，并记 ∣b∣=m>0\left|\boldsymbol{b}\right|=m>0. 由已知
∣a∣2=89m2\left|\boldsymbol{a}\right|^2=\frac89m^2
又由垂直条件，
0=(a−b)⋅(3a+2b)=3∣a∣2−a⋅b−2∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=3\left|\boldsymbol{a}\right|^2-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\left|\boldsymbol{b}\right|^2
所以
a⋅b=3×89m2−2m2=23m2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3\times\frac89m^2-2m^2=\frac23m^2
于是
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=23m2223m2=22\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}=\frac{\frac23m^2}{\frac{2\sqrt2}{3}m^2}=\frac{\sqrt2}{2}
因为 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，故 θ=π4\theta=\frac\pi4，答案为 A. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
π\pi

2015 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣b∣=4∣a∣\left|\boldsymbol{b}\right| = 4\left|\boldsymbol{a}\right|，且 a⊥(2a+b)\boldsymbol{a} \perp (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2015 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(k,3)\boldsymbol{a} = (k, 3)，b=(1,4)\boldsymbol{b} = (1, 4)，c=(2,1)\boldsymbol{c} = (2, 1)，且 (2a−3b)⊥c(2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}，则实数 k=k =（ ）
A.
−92-\frac{9}{2}
B.
0
C.
3
D.
152\frac{15}{2}

2014 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，且 a=(−2,−6)\boldsymbol{a} = (-2, -6)，∣b∣=10|\boldsymbol{b}| = \sqrt{10}，则 a⋅b=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =______.

2014 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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10平面向量★★★★☆
在平面上，AB1→⊥AB2→\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{AB_2}，∣OB1→∣=∣OB2→∣=1|\overrightarrow{OB_1}| = |\overrightarrow{OB_2}| = 1，AP→=AB1→+AB2→\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AB_2}. 若 ∣OP→∣<12|\overrightarrow{OP}| < \frac{1}{2}，则 ∣OA→∣|\overrightarrow{OA}| 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设 a=OA→\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}，b1=OB1→\boldsymbol{b}_1=\overrightarrow{OB_1}，b2=OB2→\boldsymbol{b}_2=\overrightarrow{OB_2}，p=OP→\boldsymbol{p}=\overrightarrow{OP}. 由向量条件
p−a=(b1−a)+(b2−a)\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{b}_1-\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{a})
得
a=b1+b2−p\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}
又因为 ∣b1∣=∣b2∣=1|\boldsymbol{b}_1|=|\boldsymbol{b}_2|=1，且 AB1→⊥AB2→\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}，所以
(b1−a)⋅(b2−a)=0(\boldsymbol{b}_1-\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{a})=0
代入 a=b1+b2−p\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}，得到
(p−b2)⋅(p−b1)=0(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_2)\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_1)=0
记 q=∣p∣=∣OP→∣q=|\boldsymbol{p}|=|\overrightarrow{OP}|，d=b1⋅b2d=\boldsymbol{b}_1\cdot\boldsymbol{b}_2，则
p⋅(b1+b2)=q2+d\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2)=q^2+d
因此
∣OA→∣2=∣b1+b2−p∣2=2+2d+q2−2(q2+d)=2−q2.\begin{aligned} |\overrightarrow{OA}|^2 &=|\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}|^2\\ &=2+2d+q^2-2(q^2+d)=2-q^2. \end{aligned}
由 0⩽q<120\leqslant q<\frac12，可得
72<∣OA→∣⩽2\frac{\sqrt7}{2}<|\overrightarrow{OA}|\leqslant\sqrt2
当 q=0q=0 时取到右端点；当 qq 趋近于 12\frac12 时左端点不取到，故选 D. 为说明区间内的值均可取到，对任意 q∈[0,12)q\in[0,\frac12)，取 b1=(1,0)\boldsymbol{b}_1=(1,0)，b2=(0,1)\boldsymbol{b}_2=(0,1)，p=q22(1,1)+q2−q42(1,−1)2\boldsymbol{p}=\frac{q^2}{2}(1,1)+\sqrt{q^2-\frac{q^4}{2}}\frac{(1,-1)}{\sqrt2}. 则 ∣p∣=q|\boldsymbol{p}|=q，且 p⋅(b1+b2)=q2\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2)=q^2. 令 a=b1+b2−p\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}，便有 (p−b2)⋅(p−b1)=0(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_2)\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_1)=0，从而满足题设的垂直条件. 因此上述范围恰好可取到，故选 D. \end{solution}
A.
(0,52]\left(0, \frac{\sqrt{5}}{2}\right]
B.
(52,72]\left(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2}\right]
C.
(52,2]\left(\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}\right]
D.
(72,2]\left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \sqrt{2}\right]

2013 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
在 OAOA 为边，OBOB 为对角线的矩形中，已知 OA→=(−3,1)\overrightarrow{OA} = (-3, 1)，OB→=(−2,k)\overrightarrow{OB} = (-2, k)，则实数 k=k =______. \begin{answer} 44 \end{answer} \begin{solution} 矩形中 OA⊥ABOA\perp AB，且
AB→=OB→−OA→=(1,k−1)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)
因此
OA→⋅AB→=(−3,1)⋅(1,k−1)=−3+k−1=0\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(-3,1)\cdot(1,k-1)=-3+k-1=0
解得 k=4k=4. \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量 a=(x,1)\boldsymbol{a} = (x, 1)，b=(1,y)\boldsymbol{b} = (1, y)，c=(2,−4)\boldsymbol{c} = (2, -4)，且 a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，b∥c\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}，得 a⋅c=2x−4=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2x-4=0，x=2x=2 由 b∥c\boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{c}，得 (1,y)=λ(2,−4)(1,y)=\lambda(2,-4). 由第一坐标 λ=12\lambda=\frac12，所以 y=−2y=-2. 因而 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(1,−2)\boldsymbol{b}=(1,-2)，从而 a+b=(3,−1)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)，∣a+b∣=32+(−1)2=10|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}， 故选 B. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
252\sqrt{5}
D.
1010

2012 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06平面向量★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(1,−2)\boldsymbol{b}=(1,-2)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，即 x×1+1×(−2)=0x\times1+1\times(-2)=0，所以 x=2x=2. 于是 a+b=(3,−1)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)，从而 ∣a+b∣=32+(−1)2=10|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}，故选 B. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
252\sqrt{5}
D.
1010

2012 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1e_1，e2e_2 的夹角为 60∘60^\circ，则 ∣2e1−e2∣=‾|2e_1 - e_2| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 由 e1e_1，e2e_2 是单位向量且夹角为 60∘60^\circ，得 e1⋅e2=cos⁡60∘=12e_1\cdot e_2=\cos60^\circ=\frac{1}{2}. 因此 ∣2e1−e2∣2=4∣e1∣2+∣e2∣2−4e1⋅e2=4+1−4⋅12=3\lvert2e_1-e_2\rvert^2=4\lvert e_1\rvert^2+\lvert e_2\rvert^2-4e_1\cdot e_2=4+1-4\cdot\frac{1}{2}=3，从而 ∣2e1−e2∣=3\lvert2e_1-e_2\rvert=\sqrt{3}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,k)\boldsymbol{a} = (1, k)，b=(2,2)\boldsymbol{b} = (2, 2)，且 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 共线，那么 a⋅b\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2011 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 ∣2a−b∣=|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 垂直，所以 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 于是 ∣2a−b∣2=4∣a∣2−4a⋅b+∣b∣2=4+0+4=8\left|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|^2=4|\boldsymbol{a}|^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2=4+0+4=8，从而 ∣2a−b∣=22\left|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=2\sqrt{2}，故选 B. \end{solution}
A.
00
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
88

2010 · 重庆 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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