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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 AA 为椭圆 Γ:x26+y22=1\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上一点，F1F_1，F2F_2 分别为椭圆的左，右焦点.
(1) 若点 AA 的横坐标为 22，求 ∣AF1∣\left|AF_1\right| 的长； (2) 设 Γ\Gamma 的上，下顶点分别为 M1M_1，M2M_2，记 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的面积为 S1S_1，△AM1M2\triangle AM_1M_2 的面积为 S2S_2，若 S1≥S2S_1\ge S_2，求 ∣OA∣\left|OA\right| 的取值范围； (3) 若点 AA 在 xx 轴上方，设直线 AF2AF_2 与 Γ\Gamma 交于点 BB，与 yy 轴交于点 KK，KF1KF_1 延长线与 Γ\Gamma 交于点 CC，是否存在 xx 轴上方的点 CC，使得 F1A→+F1B→+F1C→=λ(F2A→+F2B→+F2C→)\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}） 成立？若存在，请求出点 CC 的坐标；若不存在，请说明理由.

2024 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
平面上点 A(2,−1)A(2,-1) 在矩阵
M=[a1−1b]M=\begin{bmatrix}a&1\\-1&b\end{bmatrix}
对应的变换作用下得到点 B(3,−4)B(3,-4).
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}.

2020 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=(3122)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 A2A^2； (2) 求矩阵 AA 的特征值.

2019 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设 AA，BB 为曲线 C:y=x24C:y=\dfrac{x^2}{4} 上两点，AA 与 BB 的横坐标之和为 44.
(1) 求直线 ABAB 的斜率； (2) 设 MM 为曲线 CC 上一点，曲线 CC 在 MM 处的切线与直线 ABAB 平行，且 AM⊥BMAM\perp BM，求直线 ABAB 的方程.

2017 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，动点 MM 在椭圆 C:x22+y2=1C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 上，过 MM 作 xx 轴的垂线，垂足为 NN，点 PP 满足 NP→=2 NM→\overrightarrow{NP}=\sqrt2\,\overrightarrow{NM}.
(1) 求点 PP 的轨迹方程； (2) 设点 QQ 在直线 x=−3x=-3 上，且 OP→⋅PQ→=1\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1. 证明：过点 PP 且垂直于 OQOQ 的直线 ll 过 CC 的左焦点 FF.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x 的焦点为 FF，平行于 xx 轴的两条直线 l1l_1，l2l_2 分别交 CC 于 AA，BB 两点，交 CC 的准线于 PP，QQ 两点.
(1) 若 FF 在线段 ABAB 上，RR 是 PQPQ 的中点，证明 AR∥FQAR\parallel FQ； (2) 若 △PQF\triangle PQF 的面积是 △ABF\triangle ABF 的面积的两倍，求 ABAB 中点的轨迹方程.

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22平面向量★★★★★
如图，⊙O\odot O 中 AB⌢\overset{\frown}{AB} 的中点为 PP，弦 PCPC，PDPD 分别交 ABAB 于 EE，FF 两点.
(1) 若 ∠PFB=2∠PCD\angle PFB=2\angle PCD，求 ∠PCD\angle PCD 的大小； (2) 若 ECEC 的垂直平分线与 FDFD 的垂直平分线交于点 GG，证明 OG⊥CDOG\perp CD.

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知以 MM 为圆心的圆 M:x2+y2−12x−14y+60=0M:x^2+y^2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4)A(2,4).
(1) 设圆 NN 与 xx 轴相切，与圆 MM 外切，且圆心 NN 在直线 x=6x=6 上，求圆 NN 的标准方程； (2) 设平行于 OAOA 的直线 ll 与圆 MM 相交于 BB，CC 两点，且 BC=OABC=OA，求直线 ll 的方程； (3) 设点 T(t,0)T(t,0) 满足：存在圆 MM 上的两点 PP 和 QQ，使得 TA→+TP→=TQ→\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}，求实数 tt 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，BD⊥ACBD\perp AC，DD 为垂足，EE 是 BCBC 的中点. 求证：∠EDC=∠ABD\angle EDC=\angle ABD.

2016 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=[120−2]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\end{bmatrix}
，矩阵 BB 的逆矩阵
B−1=[1−1202]B^{-1}=\begin{bmatrix}1&-\dfrac12\\0&2\end{bmatrix}
，求矩阵 ABAB.

2016 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知过点 A(0,1)A(0,1) 且斜率为 kk 的直线 ll 与圆 C:(x−2)2+(y−3)2=1C: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 交于 MM，NN 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 若 OM→⋅ON→=12\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=12，其中 OO 为坐标原点，求 ∣MN∣|MN|.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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28解析几何★★★★☆
已知点 F1F_{1}，F2F_{2} 依次为双曲线 CC：x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1（aa，b>0b>0）的左右焦点，∣F1F2∣=6\left|F_{1}F_{2}\right|=6，B1(0,−b)B_{1}(0,-b)，B2(0,b)B_{2}(0,b)
(1) 若 a=5a=\sqrt{5}，以 d=(3,−4)\boldsymbol{d}=(3,-4) 为方向向量的直线 ll 经过 B1B_{1}，求 F2F_{2} 到 ll 的距离； (2) 若双曲线 CC 上存在点 PP，使得 PB1→⋅PB2→=−2\overrightarrow{PB_{1}} \cdot \overrightarrow{PB_{2}} = -2，求实数 bb 的取值范围.
\begin{solution} 由双曲线焦半距关系 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，以及 ∣F1F2∣=2c=6|F_1F_2|=2c=6，得 c=3c=3.
\begin{enumerate} \item 当 a=5a=\sqrt5 时，b2=32−a2=4b^2=3^2-a^2=4，所以 b=2b=2，即 B1=(0,−2)B_1=(0,-2)、F2=(3,0)F_2=(3,0). 直线 ll 的方向向量为 (3,−4)(3,-4)，故可取法向量 (4,3)(4,3). 由直线经过 B1B_1，其方程为 4x+3y+6=04x+3y+6=0. 因此
d(F2,l)=∣4⋅3+3⋅0+6∣42+32=185d(F_2,l)=\frac{|4\cdot3+3\cdot0+6|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{18}{5}
\item 设 P=(x,y)P=(x,y). 则 PB1→=(−x,−b−y)\overrightarrow{PB_1}=(-x,-b-y)、PB2→=(−x,b−y)\overrightarrow{PB_2}=(-x,b-y)，所以
PB1→⋅PB2→=x2+y2−b2=−2\overrightarrow{PB_1}\cdot\overrightarrow{PB_2}=x^2+y^2-b^2=-2
即 x2+y2=b2−2x^2+y^2=b^2-2. 记 t=b2t=b^2，则 0<t<90<t<9，且由 x2+y2=t−2x^2+y^2=t-2 必有 t≥2t\geq2. 又双曲线方程为 x29−t−y2t=1\frac{x^2}{9-t}-\frac{y^2}{t}=1. 令 X=x2X=x^2、Y=y2Y=y^2，联立
{X+Y=t−2,X9−t−Yt=1.\begin{cases} X+Y=t-2,\\ \dfrac{X}{9-t}-\dfrac{Y}{t}=1. \end{cases}
由第一式得 Y=t−2−XY=t-2-X，代入第二式，得
X9−t−t−2−Xt=1⟹9Xt(9−t)=2(t−1)t⟹X=2(9−t)(t−1)9\frac{X}{9-t}-\frac{t-2-X}{t}=1 \Longrightarrow \frac{9X}{t(9-t)}=\frac{2(t-1)}{t} \Longrightarrow X=\frac{2(9-t)(t-1)}9
于是 Y=t−2−X=t(2t−11)9Y=t-2-X=\frac{t(2t-11)}9. 因为 X≥0X\geq0、Y≥0Y\geq0，且 2≤t<92\leq t<9，所以只需 2t−11≥02t-11\geq0，即 t≥112t\geq\frac{11}{2}. 反之，当 112≤t<9\frac{11}{2}\leq t<9 时，上述 XX，YY 均非负，取相应的 xx，yy 即可得到双曲线上的点 PP. 因此
112≤b2<9\frac{11}{2}\leq b^2<9
即 112≤b<3\sqrt{\frac{11}{2}}\leq b<3. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 28 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量
α=[1−1]\alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
是矩阵
A=[x1y0]A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ y & 0 \end{bmatrix}
的属于特征值 −2-2 的一个特征向量，求矩阵 AA 以及它的另一个特征值.

2015 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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22平面向量★☆☆☆☆
已知矩阵
A=(2143)A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}
，
B=(110−1)B=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}
.
(1) 求 AA 的逆矩阵 A−1A^{-1}； (2) 求矩阵 CC，使得 AC=BAC = B.

2015 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 C1:x2=4yC_1: x^2 = 4y 的焦点 FF 也是椭圆 C2:y2a2+x2b2=1C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点，C1C_1 与 C2C_2 的公共弦长为 262\sqrt{6}.
(1) 求 C2C_{2} 的方程； (2) 过点 FF 的直线 ll 与 C1C_1 相交于 AA，BB 两点，与 C2C_2 相交于 CC，DD 两点，且 AC→\overrightarrow{AC} 与 BD→\overrightarrow{BD} 同向.
① 若 ∣AC∣=∣BD∣|AC| = |BD|，求直线 ll 的斜率； ② 设 C1C_1 在点 AA 处的切线与 xx 轴的交点为 MM，证明： 直线 ll 绕点 FF 旋转时，△MFD\triangle MFD 总是钝角三角形.

2015 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 m=(22,−22)\boldsymbol{m} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，n=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{n} = (\sin x, \cos x)，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，求 tan⁡x\tan x 的值； (2) 若 m\boldsymbol{m} 与 n\boldsymbol{n} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，求 xx 的值.

2015 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3} b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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