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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−1,0,1,2}A=\left\{ -1,0,1,2 \right\}，B={x∣0<x<3}B=\left\{ x\mid 0<x<3 \right\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−1,0,1}\left\{ -1,0,1 \right\}
B.
{0,1}\left\{ 0,1 \right\}
C.
{−1,1,2}\left\{ -1,1,2 \right\}
D.
{1,2}\left\{ 1,2 \right\}

2020 · 北京 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 zz 对应的点的坐标是 (1,2)(1,2)，则 iz=\mathrm{i} z=（ ）
A.
1+2i1+2\mathrm{i}
B.
−2+i-2+\mathrm{i}
C.
1−2i1-2\mathrm{i}
D.
−2−i-2-\mathrm{i}

2020 · 北京 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2)5\left(\sqrt{x}-2\right)^5 的展开式中，x2x^2 的系数为（ ）
A.
−5-5
B.
55
C.
−10-10
D.
1010

2020 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A.
6+36+\sqrt3
B.
6+236+2\sqrt3
C.
12+312+\sqrt3
D.
12+2312+2\sqrt3

2020 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知半径为 11 的圆经过点 (3,4)(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2020 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2x−x−1f(x)=2^x-x-1，则不等式 f(x)>0f(x)>0 的解集是（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty,0)\cup(1,+\infty)

2020 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
设抛物线的顶点为 OO，焦点为 FF，准线为 ll. PP 是抛物线上异于 OO 的一点，过 PP 作 PQ⊥lPQ\perp l 于 QQ，则线段 FQFQ 的垂直平分线（ ）
A.
经过点 OO
B.
经过点 PP
C.
平行于直线 OPOP
D.
垂直于直线 OPOP

2020 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 α\alpha，β∈R\beta\in\mathbf{R}，则“存在 k∈Zk\in\mathbf{Z} 使得 α=kπ+(−1)kβ\alpha=k\pi+(-1)^k\beta”是“sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha=\sin\beta”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2020 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（π\pi Day）. 历史上，求圆周率 π\pi 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似. 数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 nn 充分大时，计算单位圆的内接正 6n6n 边形的周长和外切正 6n6n 边形（各边均与圆相切的正 6n6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π2\pi 的近似值. 按照阿尔·卡西的方法，π\pi 的近似值的表达式是（ ）
A.
3n(sin⁡30∘n+tan⁡30∘n)3n\left(\sin\frac{30^\circ}{n}+\tan\frac{30^\circ}{n}\right)
B.
6n(sin⁡30∘n+tan⁡30∘n)6n\left(\sin\frac{30^\circ}{n}+\tan\frac{30^\circ}{n}\right)
C.
3n(sin⁡60∘n+tan⁡60∘n)3n\left(\sin\frac{60^\circ}{n}+\tan\frac{60^\circ}{n}\right)
D.
6n(sin⁡60∘n+tan⁡60∘n)6n\left(\sin\frac{60^\circ}{n}+\tan\frac{60^\circ}{n}\right)

2020 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1+ln⁡xf(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln x 的定义域是______.

2020 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x26−y23=1C:\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}{3}=1，则 CC 的右焦点的坐标为______；CC 的焦点到其渐近线的距离是______.

2020 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，点 PP 满足 AP→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)，则 ∣PD→∣=‾\left|\overrightarrow{PD}\right|=\underline{\hspace{2em}}；PB→⋅PD→=‾\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=sin⁡(x+φ)+cos⁡xf(x)=\sin(x+\varphi)+\cos x 的最大值为 22，则常数 φ\varphi 的一个取值为______.

2020 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 BB1BB_1 的中点.
(1) 求证：BC1∥BC_1\parallel 平面 AD1EAD_1E； (2) 求直线 AA1AA_1 与平面 AD1EAD_1E 所成角的正弦值.

2020 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a+b=11a+b=11，再从条件\circled1\circled{1}、条件\circled2\circled{2}这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1) aa 的值； (2) sin⁡C\sin C 和 △ABC\triangle ABC 的面积.
① c=7c=7，cos⁡A=−17\cos A=-\dfrac17； ② cos⁡A=18\cos A=\dfrac18，cos⁡B=916\cos B=\dfrac{9}{16}.

2020 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
\begin{array}{c} \hline & \multicolumn{2}{c|}{男生} & \multicolumn{2}{c}{女生} \\ \hline & 支持 & 不支持 & 支持 & 不支持 \\ \hline 方案一 & $200\text{ 人}$ & $400\text{ 人}$ & $300\text{ 人}$ & $100\text{ 人}$ \\ 方案二 & $350\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ & $150\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ \\ \hline \end{array}
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1) 分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率； (2) 从该校全体男生中随机抽取 2 人2\text{ 人}，全体女生中随机抽取 1 人1\text{ 人}，估计这 3 人3\text{ 人}中恰有 2 人2\text{ 人}支持方案一的概率； (3) 将该校学生支持方案的概率估计值记为 p0p_0，假设该校年级有 500 名500\text{ 名} 男生和 300 名300\text{ 名} 女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1p_1，试比较 p0p_0 与 p1p_1 的大小. （结论不要求证明）

2020 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=12−x2f(x)=12-x^2.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率等于 −2-2 的切线方程； (2) 设曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)S(t)，求 S(t)S(t) 的最小值.

2020 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(−2,−1)A(-2,-1)，且 a=2ba=2b.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过点 B(−4,0)B(-4,0) 的直线 ll 交椭圆 CC 于点 MM，NN，直线 MAMA，NANA 分别交直线 x=−4x=-4 于点 PP，QQ. 求 ∣PBBQ∣\left|\dfrac{PB}{BQ}\right| 的值.

2020 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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