设函数 $f(x) = a(x + 1)^2 - 1$, $g(x) = \cos x + 2ax$. 当 $x \in (-1, 1)$ 时, 曲线 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 恰有一个交点. 则 $a =$ ( )

已知正三棱台 $ABC - A_1B_1C_1$ 的体积为 $\frac{52}{3}$, $AB = 6$, $A_1B_1 = 2$, 则 $A_1A$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为 ( )

抛物线 $C: y^2 = 4x$ 的准线为 $l$, $P$ 为 $C$ 上动点. 过 $P$ 作 $\odot A: x^2 + (y - 4)^2 = 1$ 的一条切线, $Q$ 为切点. 过 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $B$. 则 ( )

设函数 $f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 1$, 则 ( )

已知 $\alpha$ 为第一象限角, $\beta$ 为第三象限角, $\tan \alpha + \tan \beta = 4, \tan \alpha \tan \beta = \sqrt{2} + 1$, 则 $\sin(\alpha + \beta) =$______.

已知函数 $f(x) = e^x - ax - a^3$.

(1) 当 $a = 1$ 时, 求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;

(2) 若 $f(x)$ 有极小值, 且极小值小于 0, 求 $a$ 的取值范围.

某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为 $p$, 乙为 $q$, 各次独立.

(1) 若 $p = 0.4, q = 0.5$, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;

(2) 假设 $0 < p < q$. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?