数迹
题目列表试卷列表
共找到 67 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
15复数★★★☆☆
对于任意两个复数 zz，ww，如果满足 z−wz-w 为实数，或 z−w‾z-\overline{w} 为实数，那么就称 zz 与 ww 伴随. 如果 zz 与 ww 伴随，则 w−iw-\mathrm{i} 与 z+iz+\mathrm{i} 伴随的充要条件是（ ）
A.
Rez+Rew=0\mathrm{Re} z+\mathrm{Re} w=0
B.
Rez−Rew=0\mathrm{Re} z-\mathrm{Re} w=0
C.
Imz+Imw=0\mathrm{Im} z+\mathrm{Im} w=0
D.
Imz−Imw=0\mathrm{Im} z-\mathrm{Im} w=0

2026 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
10复数★★★☆☆
ii 为虚数单位，若复数 zz 满足 z2=(zˉ)2z^2=(\bar z)^2，且 ∣z∣≤1|z|\le1，则 ∣z−2−3i∣|z-2-3\mathrm{i}| 的最小值是______.

2025 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
09复数★★★☆☆
设 m∈Rm\in \mathbf{R}，若虚数 zz 的实部为 1，且 z+2z=mz+\frac{2}{z}=m，则 m=m=______.

2024 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
11复数★★★☆☆
设 z1z_1，z2∈Cz_2\in \mathbb{C} 且 z1=i⋅z2z_1=\mathrm{i}\cdot z_2，满足 ∣z1−1∣=1\left|z_1-1\right|=1，则 ∣z1−z2∣\left|z_1-z_2\right| 的取值范围为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
33复数★★★☆☆
关于 xx 的实系数一元二次方程 x2+px+2=0x^2 + px + 2 = 0 的两个虚数根为 z1z_1， z2z_2，若 z1z_1， z2z_2 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.
\begin{answer} 222\sqrt2 \end{answer}
\begin{solution} 因为方程系数为实数且两根为非实根，所以两根互为共轭，可设 z1=u+viz_1=u+v\mathrm{i}、z2=u−viz_2=u-v\mathrm{i}，其中 v≠0v\neq0. 由韦达定理 z1z2=2z_1z_2=2，得 u2+v2=2u^2+v^2=2.
椭圆的两个焦点为这两个点，原点在椭圆上，所以原点到两个焦点的距离之和等于长轴长 2a2a. 两个距离都等于 u2+v2=2\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2，故 2a=222a=2\sqrt2. 因此该椭圆的长轴长为 222\sqrt2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 33 题 · 填空题

查看答案和解析
11概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + y\mathrm{i} （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}
D.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}

2015 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

查看答案和解析
12概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + yi（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}
D.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}

2015 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
10复数★★★☆☆
对任意复数 w1w_{1}，w2w_{2}，定义 w1∗w2=w1w‾2w_{1} * w_{2} = w_{1} \overline{w}_{2}. 其中 w‾2\overline{w}_{2} 是 w2w_{2} 的共轭复数. 对任意复数 z1z_{1}，z2z_{2}，z3z_{3} 有如下四个命题：
① (z1+z2)∗z3=(z1∗z3)+(z2∗z3)(z_{1} + z_{2}) * z_{3} = (z_{1} * z_{3}) + (z_{2} * z_{3})； ② z1∗(z2+z3)=(z1∗z2)+(z1∗z3)z_{1} * (z_{2} + z_{3}) = (z_{1} * z_{2}) + (z_{1} * z_{3})； ③ (z1∗z2)∗z3=z1∗(z2∗z3)(z_{1} * z_{2}) * z_{3} = z_{1} * (z_{2} * z_{3})； ④ z1∗z2=z2∗z1z_{1} * z_{2} = z_{2} * z_{1}.
则真命题的个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
14复数★★★☆☆
为求解方程 x5−1=0x^{5} - 1 = 0 的虚根，可以把原方程变形为 (x−1)(x4+x3+x2+x+1)=0(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0，再变形为 (x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0(x - 1)(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = 0，由此可得原方程的一个虚根为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
09复数★★★☆☆
对于复数 aa，bb，cc，dd，若集合 S={a,b,c,d}S = \{a, b, c, d\} 具有性质“对任意 xx，y∈Sy \in S，必有 xy∈Sxy \in S”，则当
{a=1,b2=1,c2=b\begin{cases} a = 1,\\ b^2 = 1,\\ c^2 = b \end{cases}
时，b+c+db + c + d 等于（ ）
A.
1
B.
−1-1
C.
0
D.
i\mathrm{i}

2010 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
16复数★★★☆☆
设 SS 为复数集 C\mathbf{C} 的非空子集. 若对任意 xx，y∈Sy \in S，都有 x+yx + y，x−yx - y，xy∈Sxy \in S，则称 SS 为封闭集. 下列命题：
① 集合 S={a+bi∣a,b 为整数,i 为虚数单位}S = \{a + b\mathrm{i} \mid a, b\text{ 为整数}, \mathrm{i}\text{ 为虚数单位}\} 为封闭集； ② 若 SS 为封闭集，则一定有 0∈S0 \in S； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 SS 为封闭集，则满足 S⊆T⊆CS \subseteq T \subseteq \mathbf{C} 的任意集合 TT 也是封闭集.
其中真命题是______. （写出所有真命题的序号）

2010 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
19复数★★★☆☆
已知复数 z=a+biz = a + b\mathrm{i}（aa，b∈R+b \in \mathbf{R}^+）（i\mathrm{i} 是虚数单位）是方程 x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0 的根. 复数 w=u+3iw = u + 3\mathrm{i}（u∈Ru \in \mathbf{R}）满足 ∣w−z∣<25|w - z| < 2\sqrt{5}，求 uu 的取值范围.

2009 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
已知复数 ww 满足 w−4=(3−2w)iw-4=(3-2w)\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），z=5w+∣w−2∣z=\dfrac{5}{w}+|w-2|，求一个以 zz 为根的实系数一元二次方程.

2006 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
证明：在复数范围内，方程 ∣z∣2+(1−i)z‾−(1+i)z=5−5i2+i|z|^2 + (1 - \mathrm{i})\overline{z} - (1 + \mathrm{i})z = \frac{5 - 5\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}} （i\mathrm{i} 为虚数单位）无解.

2005 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
在复数范围内解方程 ∣z∣2+(z+z‾)i=3−i2+i|z|^2 + (z + \overline{z})\mathrm{i} = \frac{3 - \mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}}. （i\mathrm{i} 为虚数单位）

2005 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17复数★★★☆☆
已知 zz 是复数，z+2iz + 2\mathrm{i}，z2−i\frac{z}{2 - \mathrm{i}} 均为实数（i\mathrm{i} 为虚数单位），且复数 (z+ai)2(z + a\mathrm{i})^2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 aa 的取值范围.

2005 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z - 1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z - 2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z-1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z-2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|. \begin{solution} 设 r=∣z∣r=|z|. 因为 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，所以 r>0r>0，且
z=r(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z=r\left(\cos60^{\circ}+\mathrm{i}\sin60^{\circ}\right)
由复数模的平方公式，得
∣z−1∣2=r2−2rcos⁡60∘+1=r2−r+1|z-1|^2=r^2-2r\cos60^{\circ}+1=r^2-r+1
∣z−2∣2=r2−4rcos⁡60∘+4=r2−2r+4|z-2|^2=r^2-4r\cos60^{\circ}+4=r^2-2r+4
由等比中项的定义，
∣z−1∣2=∣z∣∣z−2∣=r∣z−2∣|z-1|^2=|z||z-2|=r|z-2|
两边均非负，平方后仍然等价，得
(r2−r+1)2=r2(r2−2r+4)\left(r^2-r+1\right)^2=r^2\left(r^2-2r+4\right)
展开并消去两边的 r4−2r3r^4-2r^3，得
r2+2r−1=0r^2+2r-1=0
解得 r=−1±2r=-1\pm\sqrt2. 由于 r>0r>0，所以
∣z∣=r=2−1|z|=r=\sqrt2-1
\end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
06复数★★★☆☆
若 z∈Cz\in\mathbb{C} 且 ∣z+2−2i∣=1|z+2-2\mathrm{i}|=1，则 ∣z−2−2i∣|z-2-2\mathrm{i}| 的最小值是（ ）
\begin{solution} 令 w=z+2−2iw=z+2-2\mathrm{i}，则 ∣w∣=1\lvert w\rvert=1，并且 z−2−2i=w−4z-2-2\mathrm{i}=w-4. 由三角不等式的逆不等式，∣z−2−2i∣=∣w−4∣⩾∣∣4∣−∣w∣∣=3\lvert z-2-2\mathrm{i}\rvert=\lvert w-4\rvert\geqslant\bigl|\lvert4\rvert-\lvert w\rvert\bigr|=3. 取 w=1w=1 时等号成立，所以所求最小值为 33，应选 B. \end{solution}
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2003 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
17复数★★★☆☆
已知复数 z1=cos⁡θ−iz_{1} = \cos \theta - \mathrm{i}，z2=sin⁡θ+iz_{2} = \sin \theta + \mathrm{i}，求 ∣z1⋅z2∣|z_{1} \cdot z_{2}| 的最大值和最小值.

2003 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z - 1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z - 2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|.

2003 · 粤桂 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17复数★★★☆☆
已知 zz，ω\omega 为复数，(1+3i)z(1 + 3\mathrm{i})z 为纯虚数，ω=z2+i\omega = \frac{z}{2 + \mathrm{i}} 且 ∣ω∣=52|\omega| = 5\sqrt{2}，求 ω\omega.

2002 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
已知复数 z1=i(1−i)3z_{1} = \mathrm{i}(1 - \mathrm{i})^{3}.
(1) 求 arg⁡z1\arg z_{1} 及 ∣z1∣|z_{1}|； (2) 当复数 zz 满足 ∣z∣=1|z| = 1，求 ∣z−z1∣|z - z_1| 的最大值.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析