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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

2026 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某兴趣班共150 人150\text{ 人}，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
(1) 现采用分层抽样抽取30 人30\text{ 人}，其中抽到年龄在[25,35) 岁[25,35)\text{ 岁}的有多少人？ (2) 该兴趣班150 人150\text{ 人}的平均年龄是多少？ (3) 现从150 人150\text{ 人}中任意抽选1 人1\text{ 人}，记抽到的学员年龄在[35,45)[35,45)为事件AA，记抽到学员爱好摄影为事件BB. 事件AA与BB是否独立？请说明理由.

2026 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 100100 人，甲校有 8080 人答对，乙校有 7575 人答对，用频率估计概率.
(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 XX 为做对人数，求 P(X=1)P(X=1) 与 E(X)E(X)； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 100%100\% 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 85%85\% 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 p1p_1，乙校学生掌握该知识点的概率为 p2p_2，比较 p1p_1 与 p2p_2 的大小.

2025 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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13概率与统计★★★☆☆
小桐一周跑 22 次，一次 55 圈或 66 圈. 第一次跑 55 圈或 66 圈概率各为 0.50.5；若第一次跑 55 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.40.4，0.60.6；若第一次跑 66 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.60.6，0.40.4. 则一周跑 1111 圈的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}；若一周至少跑 1111 圈为达标，则连续跑 44 周，记合格周数为 XX，则 E(X)=‾E(X)=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.
甲茎乙
77，77，55，55，44161600，33，55，55，66，77，88，88
88，55，44，33，22，22171722
331818
(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 6060 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 170 厘米170\text{ 厘米} 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？

2025 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5，设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率. 如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx 12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(K2≥k)P\left( K^2\ge k \right)0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
乙车间70282100
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
乙车间\fillinblank{}\fillinblank{}
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5. 设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率，如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，P(K2≥k)P(K^2\ge k) 的临界值如下：
0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前 3 次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率.
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率； (2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i) 记 XX 为一份保单的毛利润，估计 E(X)E(X)； (ii) 如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（1）中 E(X)E(X) 估计值的大小（结论不要求证明）.

2024 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

2024 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
水果分为一级果和二级果，共 136136 箱，其中一级果 102102 箱，二级果 3434 箱.
(1) 随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2) 进行分层抽样，共抽 88 箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3) 抽取若干箱水果，其中一级果共 120120 个，单果质量平均数为 303.45303.45 克，方差为 603.46603.46；二级果 4848 个，单果质量平均数为 240.41240.41 克，方差为 648.21648.21；求 168168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

2024 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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126分概率与统计★★★☆☆
在信道内传输 0,10,1 信号，信号的传输相互独立. 发送 00 时，收到 11 的概率为 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 的概率为 1−α1-\alpha；发送 11 时，收到 00 的概率为 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 的概率为 1−β1-\beta. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 11 次，三次传输是指每个信号重复发送 33 次. 收到的信号需要译码：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码. 则（ ）
A.
采用单次传输方案，若依次发送 1,0,11,0,1，则依次收到 1,0,11,0,1 的概率为 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2
B.
采用三次传输方案，若发送 11，则依次收到 11，00，11 的概率为 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2
C.
采用三次传输方案，若发送 11，则译码为 11 的概率为 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3
D.
当 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，若发送 00，则采用三次传输方案译码为 00 的概率大于采用单次传输方案译码为 00 的概率

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应. 试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：gg）.
(1) 设 XX 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 XX 的分布列和数学期望； (2) 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2， 18.8， 20.2， 21.3， 22.5， 23.2， 25.8， 26.5， 27.5， 30.1，
32.6， 34.3， 34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2，
19.8， 20.2， 21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5
(i) 求 40 只小鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表； (ii) 根据（1）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g\mathrm{g}）. 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2，18.8，20.2，21.3，22.5，23.2，25.8，26.5，27.5，30.1，
32.6，34.3，34.8，35.6，35.6，35.8，36.2，37.3，40.5，43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8，9.2，11.4，12.4，13.2，15.5，16.5，18.0，18.8，19.2，
19.8，20.2，21.6，22.8，23.6，23.9，25.1，28.2，32.3，36.5
(1) 计算试验组的样本平均数； (2) (i) 求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表 (ii) 根据列联表，能否有 95%95\% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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05概率与统计★★★☆☆
设 OO 为平面坐标系原点，在区域 1≤x+y≤41\le x+y\le4 内随机取一点 A. 则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
A.
12\frac12
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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18概率与统计★★★☆☆
为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 用频率估计概率.
(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”，1 天“下跌”，1 天“不变”的概率； (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. （结论不要求证明）

2023 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 2525 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
棕色内饰2233
(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 P(B)P(B) 和 P(B∣A)P(B\mid A)，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：
(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 600600 元，二等奖 300300 元，三等奖 150150 元.
请分析各奖项对应的结果，设 XX 为奖金额，写出 XX 的分布并求其数学期望.

2023 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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