真题题库 | 数迹

15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

\hat{p}

为首次故障时间小于 365 天的概率估计值。

（i）求

\hat{p}

；

（ii）工厂向某用户销售 100 件电子元件，

X

为这 100 件产品首次出故障小于 365 天的件数，则

X \sim B(100, \hat{p})

，求

E(X)

，

D(X)

。

2026全国二卷 · 第 15 题 · 解答题

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了

1000

人, 得到如下列联表:

患该疾病：正常 20, 不正常 180, 合计 200
未患该疾病：正常 780, 不正常 20, 合计 800
合计：正常 800, 不正常 200, 总计 1000

(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为

p

, 求

p

的估计值;

(2) 根据小概率值

\alpha = 0.001

的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

2025全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了

1000

人，得到如下列联表：

组别	超声波检查结果正常	超声波检查结果不正常	合计
患该疾病	$20$	$180$	$200$
未患该疾病	$780$	$20$	$800$
合计	$800$	$200$	$1000$

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为

p

，求

p

的估计值；

（2）根据小概率值

\alpha=0.001

的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

附：

\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

，

$P(\chi^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2025全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

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09高考真题6分概率与统计★★★☆☆

随着“一带一路”国际合作的深入, 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值

\bar{x} = 2.1

, 样本方差

s^2 = 0.01

. 已知该种植区以往的亩收入

X

服从正态分布

N(1.8, 0.1^2)

, 假设推动出口后的亩收入

Y

服从正态分布

N(\bar{x}, s^2)

, 则 (若随机变量

Z

服从正态分布

N(\mu, \sigma^2)

, 则

P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413

) ( )

A.

P(X > 2) > 0.2

B.

P(X > 2) < 0.5

C.

P(Y > 2) > 0.5

D.

P(Y > 2) < 0.8

2024新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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18高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取

150

件进行检验, 数据如下:

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

(1) 填写如下列联表:

	优级品	非优级品	合计
甲车间
乙车间
合计

能否有

95\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有

99\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p = 0.5

. 设

\hat{p}

为升级改造后抽取的

n

件产品的优级品率, 如果

\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150

件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (

\sqrt{150} \approx 12.247

)

附:

K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

,

$P(K^2 \geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2024全国甲卷(文) · 第 18 题 · 解答题

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆

某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为

p

, 乙为

q

, 各次独立.

(1) 若

p = 0.4, q = 0.5

, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;

(2) 假设

0 < p < q

. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

2024新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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09高考真题6分概率与统计★★★☆☆

有一组样本数据

x_1, \cdots, x_6

, 其中

x_1

最小,

x_6

最大, 则（）

A.

x_2,x_3,x_4,x_5

的平均数等于

x_1,\cdots,x_6

的平均数

B.

x_2,x_3,x_4,x_5

的中位数等于

x_1,\cdots,x_6

的中位数

C.

x_2,x_3,x_4,x_5

的标准差不小于

x_1,\cdots,x_6

的标准差

D.

x_2,x_3,x_4,x_5

的极差不大于

x_1,\cdots,x_6

的极差

2023新高考I卷 · 第 9 题 · 多选题

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行

10

次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

x_i, y_i

(

i = 1, 2, \cdots, 10

)。试验结果如下:

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记

z_i = x_i - y_i

(

i = 1, 2, \cdots, 10

), 记

z_1, z_2, \cdots, z_{10}

的样本平均数为

\bar{z}

, 样本方差为

s^2

。

(1) 求

\bar{z}

,

s^2

;

(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}

, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

2023全国乙卷(理) · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行

10

次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

x_i, y_i

(

i = 1, 2, \cdots, 10

)。试验结果如下:

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记

z_i = x_i - y_i

(

i = 1, 2, \cdots, 10

), 记

z_1, z_2, \cdots, z_{10}

的样本平均数为

\bar{z}

, 样本方差为

s^2

。

(1) 求

\bar{z}

,

s^2

;

(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}

, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

2023全国乙卷(文) · 第 17 题 · 解答题

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆

一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选

40

只小白鼠，随机地将其中

20

只分配到试验组，另外

20

只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：

g

）。

（1）设

X

表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求

X

的分布列和数学期望；

（2）试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2,18.8,20.2,21.3,22.5,23.2,25.8,26.5,27.5,30.1

32.6,34.3,34.8,35.6,35.6,35.8,36.2,37.3,40.5,43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8,9.2,11.4,12.4,13.2,15.5,16.5,18.0,18.8,19.2

19.8,20.2,21.6,22.8,23.6,23.9,25.1,28.2,32.3,36.5

（i）求

40

只小白鼠体重的增加量的中位数

m

，再分别统计两样本中小于

m

与不小于

m

的数据的个数，完成如下列联表：

	$<m$	$\geqslant m$
对照组
试验组

（ii）根据（i）中的列联表，能否有

95\%

的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：

K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

，

$P(K^2 \geqslant k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

2023全国甲卷理科 · 第 19 题 · 解答题

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10高考真题5分概率与统计★★★☆☆

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为

p_1, p_2, p_3

, 且

p_3 > p_2 > p_1 > 0

.

记该棋手连胜两盘的概率为

p

, 则（）

A.

p

与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.

该棋手在第二盘与甲比赛,

p

最大

C.

该棋手在第二盘与乙比赛,

p

最大

D.

该棋手在第二盘与丙比赛,

p

最大

2022全国乙卷(理) · 第 10 题 · 选择题

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量, 随机选取了

10

棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位:

\text{m}^2

) 和材积量 (单位:

\text{m}^3

), 得到如下数据:

样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_i$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_i$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038

,

\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158

,

\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474

。

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到

0.01

);

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

186\,\text{m}^2

. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

附: 相关系数

r = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}

,

\sqrt{1.896} \approx 1.377

。

2022全国乙卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了

10

棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m

^2

）和材积量（单位：m

^3

），得到如下数据：

样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_i$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_i$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038

，

\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158

，

\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474

。

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到

0.01

）；

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

186

m

^2

。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

2022全国乙卷(文) · 第 19 题 · 解答题

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