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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
一个底面半径为 44 cm, 高为 99 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则铁球半径的最大值为______cm。

2025全国二卷 · 第 14 题 · 填空题

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15高考真题13分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x) = \cos(2x + \varphi) (0≤φ<π0 \le \varphi < \pi), f(0)=12f(0) = \frac{1}{2}。
(1) 求 φ\varphi;
(2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right), 求 g(x)g(x) 的值域和单调区间。

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15高考真题4分解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,1)A(0, 1), B(1,2)B(1, 2), 若动点 CC 在曲线 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 (x≥1,y≥0x \ge 1, y \ge 0) 上, 则 △ABC\triangle ABC 的面积 （ ）
A.
有最大值, 无最小值
B.
无最大值, 有最小值
C.
有最大值, 有最小值
D.
无最大值, 无最小值

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人, 得到如下列联表:
  • 患该疾病：正常 20, 不正常 180, 合计 200
  • 未患该疾病：正常 780, 不正常 20, 合计 800
  • 合计：正常 800, 不正常 200, 总计 1000
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp, 求 pp 的估计值;
(2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人，得到如下列联表：
组别超声波检查结果正常超声波检查结果不正常合计
患该疾病2020180180200200
未患该疾病7807802020800800
合计80080020020010001000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值；
（2）根据小概率值 α=0.001\alpha=0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，
P(χ2⩾k)P(\chi^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, 角 A,B,CA, B, C 所对的边分别为 a,b,ca, b, c。已知 asin⁡B=3bcos⁡Aa\sin B = \sqrt{3}b\cos A, c−2b=1c - 2b = 1, a=7a = \sqrt{7}。
(1) 求角 AA 的大小;
(2) 求 cc 的值;
(3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A + 2B) 的值。

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡A=−13\cos A = -\frac{1}{3}, asin⁡C=42a\sin C = 4\sqrt{2}。
(1) 求 cc 的值;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 BCBC 边上的高。
条件①: a=6a = 6; 条件②: asin⁡B=1023a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}; 条件③: △ABC\triangle ABC 的面积为 10210\sqrt{2}。

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17高考真题14分概率与统计★★★☆☆
2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:
206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93206.78 \quad 207.46 \quad 207.95 \quad 209.34 \quad 209.35 \quad 210.68 \quad 213.73 \quad 214.84 \quad 216.93 \quad 216.93
(1) 求这组数据的极差与中位数;
(2) 从这 1010 个数据中任选 33 个, 求恰有 22 个数据大于 211211 的概率;
(3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y^=−0.311x+b^\hat{y} = -0.311x + \hat{b}, 年份 xx 的平均数为 20062006, 请预测 20282028 年男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 0.010.01 秒)

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 8080, 乙校学生选择正确的人数为 7575。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 pp;
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 11 名。设 XX 为这 22 名学生中该题选择正确的人数, 估计 X=1X = 1 的概率及 XX 的数学期望;
(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 100%100\%, 乙校学生选择正确的概率为 85%85\%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p1,p2p_1, p_2, 判断 p1p_1 与 p2p_2 的大小。(结论不要求证明)

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