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16
高考真题
15分
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中,
a
1
=
3
,
a
n
+
1
n
=
a
n
n
+
1
+
1
n
(
n
+
1
)
a_1 = 3, \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
a
1
=
3
,
n
a
n
+
1
=
n
+
1
a
n
+
n
(
n
+
1
)
1
。
(1) 证明: 数列
{
n
a
n
}
\{na_n\}
{
n
a
n
}
是等差数列;
(2) 给定正整数
m
m
m
, 设函数
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
f(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_mx^m
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
, 求
f
′
(
−
2
)
f'(-2)
f
′
(
−
2
)
。
2025全国一卷 · 第 16 题 · 解答题
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16
高考真题
15分
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
3
a_1=3
a
1
=
3
，
a
n
+
1
n
=
a
n
n
+
1
+
1
n
(
n
+
1
)
\dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}
n
a
n
+
1
=
n
+
1
a
n
+
n
(
n
+
1
)
1
。
（1）证明：数列
{
n
a
n
}
\{na_n\}
{
n
a
n
}
是等差数列；
（2）给定正整数
m
m
m
，设函数
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
，求
f
′
(
−
2
)
f'(-2)
f
′
(
−
2
)
。
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19
高考真题
17分
导数及其应用
★★★★☆
已知
f
(
x
)
=
a
(
e
x
+
a
)
−
x
f(x) = a(e^x + a) - x
f
(
x
)
=
a
(
e
x
+
a
)
−
x
。
(1) 讨论单调性;
(2) 当
a
>
0
a > 0
a
>
0
时, 证明
f
(
x
)
>
2
ln
a
+
3
2
f(x) > 2\ln a + \frac{3}{2}
f
(
x
)
>
2
ln
a
+
2
3
。
2023新高考I卷 · 第 19 题 · 解答题
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