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12高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x),g(x)f(x), g(x) 的定义域均为 R\mathbb{R}, 且 f(x)+g(2−x)=5f(x) + g(2 - x) = 5, g(x)−f(x−4)=7g(x) - f(x - 4) = 7. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象关于直线 x=2x = 2 对称, g(2)=4g(2) = 4, 则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22} f(k) = （ ）
A.
−21-21
B.
−22-22
C.
−23-23
D.
−24-24

2022全国乙卷(理) · 第 12 题 · 选择题

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 x=x1x = x_1 和 x=x2x = x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x) = 2ax - e^{x^2} (a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1) 的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1 < x_2, 则 aa 的取值范围是 ______.

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 四面体 ABCDABCD 中, AD⊥CDAD \perp CD, AD=CDAD = CD, ∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC, EE 为 ACAC 的中点。
(1) 证明: 平面 BED⊥BED \perp 平面 ACDACD;
(2) 设 AB=BD=2AB = BD = 2, ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ, 点 FF 在 BDBD 上, 当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时, 求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值。

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点, 对称轴为 xx 轴、yy 轴, 且过 A(0,−2)A(0, -2), B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程;
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 M,NM, N 两点, 过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT, 点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}. 证明: 直线 HNHN 过定点。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x) = \ln(1 + x) + axe^{-x}。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1, 0), (0,+∞)(0, +\infty) 各恰有一个零点, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴、yy 轴，且过 A(0,−2)A(0, -2)，B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}。证明：直线 HNHN 过定点。

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22高考真题12分解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 曲线 CC 的参数方程为
{x=3cos⁡2ty=2sin⁡t(t 为参数).\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{cases} \quad (t \text{ 为参数}).
以坐标原点为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 ll 的极坐标方程为
ρsin⁡(θ+π3)+m=0.\rho \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) + m = 0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程;
(2) 若 ll 与 CC 有公共点, 求 mm 的取值范围。

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 a,b,ca, b, c 都是正数, 且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1, 证明:
(1) abc≤19abc \le \dfrac{1}{9};
(2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \le \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1，证明：
(1) abc⩽19abc \leqslant \dfrac{1}{9}；
(2) ab+c+ba+c+ca+b⩽12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}。

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