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09
高考真题
5分
解析几何
★★★★☆
已知双曲线
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
a
2
x
2
−
b
2
y
2
=
1
(
a
>
0
,
b
>
0
a > 0, b > 0
a
>
0
,
b
>
0
) 的左焦点为
F
F
F
，
A
A
A
是右顶点，
P
P
P
是双曲线上一点，满足
∣
F
A
∣
=
∣
F
P
∣
|FA| = |FP|
∣
F
A
∣
=
∣
F
P
∣
，
∠
F
A
P
=
30
∘
\angle FAP = 30^\circ
∠
F
A
P
=
3
0
∘
，则双曲线离心率为（ ）
A.
4
B.
8
C.
3
\sqrt{3}
3
D.
4
3
\frac{4}{3}
3
4
2026天津卷 · 第 9 题 · 选择题
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14
高考真题
5分
平面向量
★★★★☆
已知
∣
a
⃗
∣
=
a
⃗
⋅
b
⃗
=
1
|\vec{a}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1
∣
a
∣
=
a
⋅
b
=
1
，
∣
b
⃗
∣
>
1
|\vec{b}| > 1
∣
b
∣
>
1
，记
c
⃗
=
λ
a
⃗
+
μ
b
⃗
\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}
c
=
λ
a
+
μ
b
。当
a
⃗
+
b
⃗
−
c
⃗
=
0
⃗
\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0}
a
+
b
−
c
=
0
时，
λ
+
μ
=
\lambda + \mu =
λ
+
μ
=
______，当
∣
a
⃗
+
b
⃗
−
c
⃗
∣
=
1
|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = 1
∣
a
+
b
−
c
∣
=
1
时，
λ
+
μ
\lambda + \mu
λ
+
μ
的取值范围为 ______。
2026天津卷 · 第 14 题 · 填空题
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17
高考真题
15分
立体几何初步
★★★★☆
在长方体
A
B
C
D
−
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCD - A_1B_1C_1D_1
A
B
C
D
−
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
B
=
2
AB = 2
A
B
=
2
，
A
A
1
=
3
AA_1 = 3
A
A
1
=
3
，
A
D
=
4
AD = 4
A
D
=
4
，
A
1
E
=
3
E
D
1
A_1E = 3ED_1
A
1
E
=
3
E
D
1
，
2
C
1
F
=
F
C
2C_1F = FC
2
C
1
F
=
F
C
。
(1) 求证：
B
A
1
⊥
面
A
E
F
BA_1 \perp \text{面} AEF
B
A
1
⊥
面
A
E
F
；
(2) 求面
A
E
F
AEF
A
E
F
与面
A
B
C
ABC
A
B
C
的夹角的余弦值；
(3) 求三棱锥
A
−
A
1
E
F
A - A_1EF
A
−
A
1
E
F
的体积。
2026天津卷 · 第 17 题 · 解答题
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18
高考真题
17分
解析几何
★★★★☆
已知椭圆
A
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
A
:
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
(
a
>
b
>
0
a > b > 0
a
>
b
>
0
) 的离心率为
1
2
\frac{1}{2}
2
1
，椭圆被直线
x
=
b
x = b
x
=
b
截得的线段长为
3
\sqrt{3}
3
。
(1) 求
A
A
A
的标准方程；
(2) 斜率为
−
3
-\sqrt{3}
−
3
的直线与圆
x
2
+
y
2
=
b
2
x^2 + y^2 = b^2
x
2
+
y
2
=
b
2
相切，且该直线交椭圆于
P
(
x
1
,
y
1
)
,
Q
(
x
2
,
y
2
)
P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)
P
(
x
1
,
y
1
)
,
Q
(
x
2
,
y
2
)
(
y
1
<
y
2
y_1 < y_2
y
1
<
y
2
)，
A
A
A
是椭圆的上顶点。记直线
A
P
,
A
Q
AP, AQ
A
P
,
A
Q
的斜率分别为
k
1
,
k
2
k_1, k_2
k
1
,
k
2
，求
k
1
k
2
\frac{k_1}{k_2}
k
2
k
1
。
2026天津卷 · 第 18 题 · 解答题
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