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20
高考真题
15分
导数及其应用
★★★★★
f
(
x
)
=
(
1
x
+
1
2
)
ln
(
x
+
1
)
f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1)
f
(
x
)
=
(
x
1
+
2
1
)
ln
(
x
+
1
)
, 曲线在
(
1
,
f
(
1
)
)
(1,f(1))
(
1
,
f
(
1
))
切线为
l
l
l
。
(1) 求
l
l
l
方程;
(2) 证
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
−
1
,
0
)
(-1,0)
(
−
1
,
0
)
上唯一极大值点;
(3) 若
f
(
x
)
≤
k
x
f(x) \le kx
f
(
x
)
≤
k
x
在
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
恒成立, 求
k
k
k
范围。
2023天津卷 · 第 20 题 · 解答题
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21
高考真题
12分
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
a
x
−
sin
x
cos
3
x
f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}
f
(
x
)
=
a
x
−
cos
3
x
sin
x
，
x
∈
(
0
,
π
2
)
x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)
x
∈
(
0
,
2
π
)
。
（1）当
a
=
8
a=8
a
=
8
时，讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调性；
（2）若
f
(
x
)
<
sin
2
x
f(x)<\sin 2x
f
(
x
)
<
sin
2
x
，求
a
a
a
的取值范围。
2023全国甲卷理科 · 第 21 题 · 解答题
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21
高考真题
18分
导数及其应用
★★★★★
已知
f
(
x
)
=
ln
x
f(x) = \ln x
f
(
x
)
=
ln
x
.曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在点
(
a
1
,
f
(
a
1
)
)
(a_1, f(a_1))
(
a
1
,
f
(
a
1
))
处的切线交
y
y
y
轴于点
(
0
,
a
2
)
(0, a_2)
(
0
,
a
2
)
, 且
a
2
>
0
a_2 > 0
a
2
>
0
; 曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在点
(
a
2
,
f
(
a
2
)
)
(a_2, f(a_2))
(
a
2
,
f
(
a
2
))
处的切线交
y
y
y
轴于点
(
0
,
a
3
)
(0, a_3)
(
0
,
a
3
)
; 以此类推, 直至
a
m
⩽
0
a_m \leqslant 0
a
m
⩽
0
时停止操作, 得到数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
, 其中
m
m
m
、
n
n
n
为正整数,
1
<
n
⩽
m
1 < n \leqslant m
1
<
n
⩽
m
.
(1) 证明: 当
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
时,
a
n
=
ln
a
n
−
1
−
1
a_n = \ln a_{n-1} - 1
a
n
=
ln
a
n
−
1
−
1
;
(2) 当
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
时, 试比较
a
n
a_n
a
n
和
a
n
−
1
−
2
a_{n-1} - 2
a
n
−
1
−
2
的大小, 并说明理由;
(3) 是否存在不小于
3
3
3
的正整数
k
k
k
, 使得
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
k
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
k
成等差数列? 若存在, 求出
k
k
k
的所有取值; 若不存在, 请说明理由.
2023上海卷 · 第 21 题 · 解答题
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22
高考真题
15分
导数及其应用
★★★★★
(1) 证明
0
<
x
<
1
0 < x < 1
0
<
x
<
1
时
x
−
x
2
<
sin
x
<
x
x - x^2 < \sin x < x
x
−
x
2
<
sin
x
<
x
;
(2)
f
(
x
)
=
cos
a
x
−
ln
(
1
−
x
2
)
f(x) = \cos ax - \ln(1 - x^2)
f
(
x
)
=
cos
a
x
−
ln
(
1
−
x
2
)
, 若
x
=
0
x = 0
x
=
0
是
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的极大值点, 求
a
a
a
范围。
2023新高考II卷 · 第 22 题 · 解答题
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