已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2x$。对任意 $x_0\in\mathbb{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

（1）若当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，且 $x_1x_2\neq 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；

（3）设 $f(x)$ 满足：①若 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；②当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$。

（i）证明：$f(0)\geqslant 1$；

（ii）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增。

已知函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 对于正实数 $a$, 定义集合 $M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}$。

(1) 设 $f(x) = \sin x$, 判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_\pi$ 中的元素, 并说明理由;

(2) 设 $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases}$ 且 $M_a \ne \varnothing$, 求 $a$ 的取值范围;

(3) 若 $y = f(x)$ 是偶函数, 当 $x \in (0, 1]$ 时, $f(x) = 1 - x$, 且对任意 $a \in (0, 2)$, 均有 $M_a \subseteq M_2$。写出当 $x \in (1, 2)$ 时 $f(x)$ 的表达式, 并证明: 对任意实数 $c$, 函数 $y = f(x) - c$ 在区间 $[-3, 3]$ 上至多有 $9$ 个零点。