甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 $0$ 代，经过一次繁殖后为第 $1$ 代，再经过一次繁殖后为第 $2$ 代，依此类推. 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 $1$ 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_i>0$，其中 $i=0$，$1$，$2$，$3$.

(1) 已知 $p_0=0.4$，$p_1=0.3$，$p_2=0.2$，$p_3=0.1$，求 $E(X)$； (2) 设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程 $p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E(X)\le1$ 时，$p=1$，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$； (3) 根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

甲口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球，乙口袋中装有 $3$ 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $q_n$.

(1) 求 $p_1\cdot q_1$ 和 $p_2\cdot q_2$； (2) 求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

随机将 $1$，$2$，$\cdots$，$2n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$n \geqslant 2$）这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_{1}$，最大数为 $a_{2}$；$B$ 组最小数为 $b_{1}$，最大数为 $b_{2}$，记 $\xi = a_{2} - a_{1}$，$\eta = b_{2} - b_{1}$.

(1) 当 $n = 3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$； (3) 对（2）中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(\bar{C})$ 和 $P(C)$ 的大小关系，并说明理由.

将连续正整数 $1$，$2$，$\cdots$，$n$ （$n \in \mathbf{N}^*$） 从小到大排列构成一个数 $123\cdots n$，$F(n)$ 为这个数的位数 （如 $n = 12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 15 个数字，$F(12) = 15$），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 0 的概率.

(1) 求 $p(100)$； (2) 当 $n \leqslant 2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式； (3) 令 $g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$h(n) = f(n) - g(n)$，$S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}$，求当 $n \in S$ 时 $p(n)$ 的最大值.

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动. 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（$n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $X$.

(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2) 求使 $P(X = m)$ 取得最大值的整数 $m$.

(1) 设函数 $f(x) = \ln (1 + x) - \frac{2x}{x + 2}$. 证明：当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$； (2) 从编号 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次. 设抽得的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$. 证明：$p < \left(\frac{9}{10}\right)^{19} < \frac{1}{\mathrm{e}^2}$.