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19高考真题17分数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1 = 2，b1=1b_1 = 1，a2=b1+b2a_2 = b_1 + b_2，a4=b3−b1a_4 = b_3 - b_1。
(1) 求数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的通项公式；
(2) 记 En={x∈R∣x≤n,∃k∈N∗,x=ak 或 x=bk}E_n = \{x \in R \mid x \le n, \exists k \in N^*, x = a_k \text{ 或 } x = b_k\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数。
(i) 求 c3nc_{3n}；
(ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3n-1} (-1)^m \cdot a_m \cdot c_m。

2026天津卷 · 第 19 题 · 解答题

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08高考真题5分数列★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x) > f(x-1) + f(x-2), 且当 x<3x < 3 时 f(x)=xf(x) = x, 则下列结论中一定正确的是 ( )
A.
f(10)>100f(10) > 100
B.
f(20)>1000f(20) > 1000
C.
f(10)<1000f(10) < 1000
D.
f(20)<10000f(20) < 10000

2024新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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19高考真题17分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=m(m>0)C: x^2 - y^2 = m (m > 0), 点 P1(5,4)P_1(5, 4) 在 CC 上, kk 为常数, 0<k<10 < k < 1. 构造点 PnP_n: 过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}, 令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点.
(1) 若 k=12k = \frac{1}{2}, 求 x2,y2x_2, y_2;
(2) 证明: {xn−yn}\{x_n - y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列;
(3) 证明: 对于任意正整数 nn, △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积 Sn=Sn+1S_n = S_{n+1}.

2024新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19高考真题17分数列★★★★★
设 mm 为正整数, 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是公差不为 00 的等差数列, 若从中删去两项 aia_i 和 aj (i<j)a_j\ (i<j) 后剩余的 4m4m 项可被平均分为 mm 组, 且每组的 44 个数都能构成等差数列, 则称数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有的 (i,j)(i,j), 1≤i<j≤61 \le i < j \le 6, 使数列 a1,a2,…,a6a_1, a_2, \ldots, a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列;
(2) 当 m≥3m \ge 3 时, 证明: 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列;
(3) 从 1,2,…,4m+21, 2, \ldots, 4m+2 中一次任取两个数 ii 和 j (i<j)j\ (i<j), 记数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m, 证明: Pm>18P_m > \frac{1}{8}.

2024新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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21高考真题15分数列★★★★★
集合 MM 包含特定四元组。对数列 AA 进行变换 Ω(A)\Omega(A)。
(1) 计算给定 AA 和 Ω\Omega 的结果; (2) 判断是否存在 Ω\Omega 使得 AA 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 Ω(A)\Omega(A) 各项相等的充要条件。

2024北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题14分数列★★★★★
已知数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的项数均为 mm (m>2m > 2), 且 an,bn∈{1,2,…,m}a_n, b_n \in \{1, 2, \dots, m\}, {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的前 nn 项和分别为 An,BnA_n, B_n, 并规定 A0=B0=0A_0 = B_0 = 0。对于 k∈{0,1,2,…,m}k \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak,i∈{0,1,2,…,m}}r_k = \max \{i \mid B_i \le A_k, i \in \{0, 1, 2, \dots, m\}\}。
(1) 若 a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=2,b3=3a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 3, 写出 r0,r1,r2,r3r_0, r_1, r_2, r_3 的值；
(2) 若 a1≥b1a_1 \ge b_1, 且 2rj≤rj+1+rj−12r_j \le r_{j+1} + r_{j-1}, j=1,2,…,m−1j = 1, 2, \dots, m-1, 求 rnr_n；
(3) 证明：存在 p,q,s,t∈{0,1,2,…,m}p, q, s, t \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 满足 p>q,s>tp > q, s > t, 使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p + B_t = A_q + B_s。

2023北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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