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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域是 DD. 对于 t∈Dt\in D，定义集合 Sf(t)={x∣f(x)≥f(t)}S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}.
(1) f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，求 Sf(16)S_f(16)； (2) 对于集合 AA，若对任意 x∈Ax\in A 都有 −x∈A-x\in A，则称 AA 是对称集. 若 DD 是对称集，证明：“函数 y=f(x)y=f(x) 是偶函数”的充要条件是“对任意 t∈Dt\in D，Sf(t)S_f(t) 是对称集”； (3) 若 x∈Rx\in\mathbf{R}，f(x)=ex−12mx2f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2. 求 mm 的取值范围，使得对于任意 t1<t2∈Dt_1<t_2\in D，都有 Sf(t2)⊆Sf(t1)S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1).

2025 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
记 M(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≥a}M(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\ge a\}，L(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≤a}L(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\le a\}.
(1) 若 f(x)=x2+1f(x)=x^2+1，求 M(1)M(1) 和 L(1)L(1)； (2) 若 f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2，求证：对于任意 a∈Ra\in\mathbf{R}，都有 M(a)⊆[−4,+∞)M(a)\subseteq[-4,+\infty)，且存在 aa，使得 −4∈M(a)-4\in M(a). (3) 已知定义在 R\mathbf{R} 上的 f(x)f(x) 有最小值，求证“f(x)f(x) 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 cc，均有 M(−c)=L(c)M(-c)=L(c)”.

2024 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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10集合与逻辑基础★★★★★
设集合 SS，TT，S⊆N∗S\subseteq\mathbf{N}^*，T⊆N∗T\subseteq\mathbf{N}^*，SS，TT 中至少有两个元素，且 SS，TT 满足：
① 对于任意 xx，y∈Sy\in S，若 x≠yx\ne y，都有 xy∈Txy\in T； ② 对于任意 xx，y∈Ty\in T，若 x<yx<y，则 yx∈S\dfrac{y}{x}\in S.
下列命题正确的是（ ）
A.
若 SS 有 4 个元素，则 S∪TS\cup T 有 7 个元素
B.
若 SS 有 4 个元素，则 S∪TS\cup T 有 6 个元素
C.
若 SS 有 3 个元素，则 S∪TS\cup T 有 4 个元素
D.
若 SS 有 3 个元素，则 S∪TS\cup T 有 5 个元素

2020 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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20集合与逻辑基础★★★★★
设 nn 为正整数，集合 A={(t1,t2,…,tn)∣ti∈{0,1}, i=1,2,…,n}A=\left\{(t_1,t_2,\ldots,t_n)\mid t_i\in\{0,1\},\ i=1,2,\ldots,n\right\}. 对于集合 AA 中的任意元素 α=(x1,x2,…,xn)\alpha=(x_1,x_2,\ldots,x_n) 和 β=(y1,y2,…,yn)\beta=(y_1,y_2,\ldots,y_n)，记 M(α,β)=12∑i=1n(xi+yi−∣xi−yi∣)M(\alpha,\beta)=\frac12\sum_{i=1}^n\bigl(x_i+y_i-|x_i-y_i|\bigr).
(1) 当 n=3n=3 时，若 α=(1,1,0)\alpha=(1,1,0)，β=(0,1,1)\beta=(0,1,1)，求 M(α,α)M(\alpha,\alpha) 和 M(α,β)M(\alpha,\beta) 的值； (2) 当 n=4n=4 时，设 BB 是 AA 的子集，且满足：对于 BB 中的任意元素 α\alpha，β\beta，当 α\alpha，β\beta 相同时，M(α,β)M(\alpha,\beta) 是奇数；当 α\alpha，β\beta 不同时，M(α,β)M(\alpha,\beta) 是偶数. 求集合 BB 中元素个数的最大值； (3) 给定不小于 22 的 nn，设 BB 是 AA 的子集，且满足：对于 BB 中的任意两个不同的元素 α\alpha，β\beta，M(α,β)=0M(\alpha,\beta)=0. 写出一个集合 BB，使其元素个数最多，并说明理由.

2018 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={x∣x=2n−1, n∈N∗}A=\{x\mid x=2n-1,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=2n, n∈N∗}B=\{x\mid x=2^n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 将 A∪BA\cup B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 {an}\{a_n\}. 记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，则使得 Sn>12an+1S_n>12a_{n+1} 成立的 nn 的最小值为______.

2018 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22集合与逻辑基础★★★★★
对正整数 nn，记 In={1,2,⋯ ,n}I_n = \{1, 2, \cdots, n\}，Pn={mk∣m∈In,k∈In}P_n = \left\{\frac{m}{\sqrt{k}} \mid m \in I_n, k \in I_n\right\}.
(1) 求集合 P7P_{7} 中元素的个数； (2) 若 PnP_{n} 的子集 AA 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 AA 为“稀疏集”，求 nn 的最大值，使 PnP_{n} 能分成两个不相交的稀疏集的并.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 kk 写成 k=sr2k=sr^2，其中 ss 为平方因子已经除尽后的平方自由数. 对 n=7n=7，当 s=1s=1 时 k=1k=1，44，所得不同的有理数为
{1,2,3,4,5,6,7}∪{12,32,52,72}\{1,2,3,4,5,6,7\}\cup\left\{\frac12,\frac32,\frac52,\frac72\right\}
共有 1111 个. 其余平方自由数为 22，33，55，66，77，每个数只能取 r=1r=1，分别产生 77 个形如 ms\frac{m}{\sqrt{s}} 的数；不同的平方自由数对应的数不可能相等. 因此
∣P7∣=11+5×7=46|P_7|=11+5\times7=46
\item 每个 PnP_n 中的元素都可以唯一写成 qsq\sqrt{s}，其中 qq 是正有理数，ss 是平方自由正整数. 若 s>1s>1，则该元素是无理数. 若两个元素的平方自由部分相同且大于 11，它们的和为正有理数倍的 s\sqrt{s}，仍是无理数. 若两个元素的平方自由部分分别为不同的 ss，t>1t>1，假设它们的和为有理数 uu，则 qs+rt=uq\sqrt{s}+r\sqrt{t}=u. 移项并平方可得 2uqs=u2+q2s−r2t2uq\sqrt{s}=u^2+q^2s-r^2t，从而 s\sqrt{s} 为有理数，矛盾. 若其中一个平方自由部分为 11，另一个大于 11，则和为有理数会使后者的 s\sqrt{s} 为有理数，同样矛盾. 因此，含有非有理数的两个不同元素之和不可能是整数，稀疏集划分的限制只来自 PnP_n 中的有理数.
先考察 P14P_{14}. 其中有理数恰来自 k=1k=1，44，99，约分后得到的有理数集合为
R14={1,2,…,14}∪{12,32,52,72,92,112,132}∪{13,23,43,53,73,83,103,113,133,143}R_{14}=\{1,2,\ldots,14\}\cup\left\{\frac12,\frac32,\frac52,\frac72,\frac92,\frac{11}{2},\frac{13}{2}\right\}\cup\left\{\frac13,\frac23,\frac43,\frac53,\frac73,\frac83,\frac{10}{3},\frac{11}{3},\frac{13}{3},\frac{14}{3}\right\}
将其分为
A0={1,2,4,6,9,11,13}∪{12,32,92,112,132}∪{13,43,53,103,133},\begin{gathered} A_0=\{1,2,4,6,9,11,13\}\cup\left\{\frac12,\frac32,\frac92,\frac{11}{2},\frac{13}{2}\right\}\\ \cup\left\{\frac13,\frac43,\frac53,\frac{10}{3},\frac{13}{3}\right\}, \end{gathered}
和
B0={3,5,7,8,10,12,14}∪{52,72}∪{23,73,83,113,143}B_0=\{3,5,7,8,10,12,14\}\cup\left\{\frac52,\frac72\right\}\cup\left\{\frac23,\frac73,\frac83,\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right\}
把 P14P_{14} 中除 R14R_{14} 外的所有无理数任意放入第一组，便得到 A={x∈P14∣x∉R14}∪A0A=\{x\in P_{14}\mid x\notin R_{14}\}\cup A_0，B=B0B=B_0.
为验证这两个集合确实稀疏，只需检查 R14R_{14} 中两数之和为整数平方的情形. 由于两数之和不超过 2828，只需检查平方 11，44，99，1616，2525. 和为 11 的相邻对只有 13+23\frac13+\frac23；和为 44 的相邻对为 13+113\frac13+\frac{11}{3}、12+72\frac12+\frac72、23+103\frac23+\frac{10}{3}、1+31+3、43+83\frac43+\frac83、32+52\frac32+\frac52、53+73\frac53+\frac73；和为 99 的相邻对为 1+81+8、2+72+7、3+63+6、4+54+5、52+132\frac52+\frac{13}{2}、72+112\frac72+\frac{11}{2}、133+143\frac{13}{3}+\frac{14}{3}；和为 1616 的相邻对为 2+142+14、3+133+13、4+124+12、5+115+11、6+106+10、7+97+9；和为 2525 的相邻对为 11+1411+14、12+1312+13. 这些相邻对均分别落在 A0A_0 与 B0B_0 中，所以 AA、BB 都是稀疏集. 由此 n=14n=14 可以实现.
另一方面，当 n⩾15n\geqslant15 时，PnP_n 中包含 11，33，66，1010，1515，且 1+3=41+3=4，3+6=93+6=9，6+10=166+10=16，10+15=2510+15=25，15+1=1615+1=16. 因此这五个元素构成一个长度为 55 的奇环. 若把 PnP_n 分成两个稀疏集，奇环上的相邻元素必须交替分入两个集合，绕环一周后首尾两个元素却会被迫分入同一集合，矛盾. 所以 n⩾15n\geqslant15 时不能实现，故 nn 的最大值为 1414. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2g(x)=2^x-2. 若同时满足条件：
① ∀x∈R\forall x\in\mathbf{R}，f(x)<0f(x)<0 或 g(x)<0g(x)<0； ② ∃x∈(−∞,−4)\exists x\in(-\infty,-4)，f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0，
则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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23集合与逻辑基础★★★★★
设集合 Pn={1,2,⋯ ,n}P_n = \{1,2,\cdots,n\}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 记 f(n)f(n) 为同时满足下列条件的集合 AA 的个数：
① A⊆PnA \subseteq P_n； ② 若 x∈Ax \in A，则 2x∉A2x \notin A； ③ 若 x∈CPnAx \in C_{P_n}A，则 2x∉CPnA2x \notin C_{P_n}A.
(1) 求 f(4)f(4)； (2) 求 f(n)f(n) 的解析式（用 nn 表示）.

2012 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\} （n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 P⊆SnP \subseteq S_n，PP 中有 mm（m⩾2m \geqslant 2） 个元素，记 PP 中所有两元素间距离的平均值为 d‾(P)\overline{d}(P). 证明： d‾(P)⩽mn2(m−1)\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}.

2010 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知数集 A={a1,a2,⋯ ,an}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\} （1⩽a1<a2<⋯<an1 \leqslant a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}，n⩾2n \geqslant 2）具有性质 PP：对任意的 ii，jj （1⩽i⩽j⩽n1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n），aiaja_{i} a_{j} 与 ajai\frac{a_{j}}{a_{i}} 两数中至少有一个属于 AA.
(1) 分别判断集数 {1,3,4}\{1, 3, 4\} 与 {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (2) 证明：a1=1a_{1}=1，且 a1+a2+⋯+ana1−1+a2−1+⋯+an−1=an\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}； (3) 证明：当 n=5n = 5 时，a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5 成等比数列.

2009 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={a1,a2,⋯ ,ak}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}（k⩾2k \geqslant 2），其中 ai∈Za_{i} \in \mathbf{Z}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，kk）. 由 AA 中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)∣a∈A,b∈A,a+b∈A}S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}；T={(a,b)∣a∈A,b∈A,a−b∈A}T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}，其中 (a,b)(a, b) 是有序数对，集合 SS 和 TT 中的元素个数分别为 mm 和 nn. 若对于任意的 a∈Aa \in A，总有 −a∉A-a \notin A，则称集合 AA 具有性质 PP.
(1) 检验集合 {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} 与 {−1,2,3}\{-1, 2, 3\} 是否具有性质 PP，并对其中具有性质 PP 的集合，写出相应的集合 SS 和 TT. (2) 对任何具有性质 PP 的集合 AA，证明：n⩽k(k−1)2n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}. (3) 判断 mm 和 nn 的大小关系，并证明你的结论.

2007 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
给定有限个正数满足条件 TT：每个数都不大于 5050 且总和 L=1275L=1275. 现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150150 与这组数之和的差 r1r_{1} 与所有可能的其他选择相比是最小的，r1r_{1} 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 r2r_{2}；如此继续构成第三组（余差为 r3r_{3}），第四组（余差为 r4r_{4}），⋯\cdots，直至第 NN 组（余差为 rNr_{N}）把这些数全部分完为止.
(1) 判断 r1r_{1}，r2r_{2}，⋯\cdots，rNr_{N} 的大小关系，并指出除第 NN 组外的每组至少含有几个数； (2) 当构成第 nn（n<Nn<N）组后，指出余下的每个数与 rnr_{n} 的大小关系，并证明 rn−1>150n−Ln−1r_{n-1}>\frac{150n-L}{n-1}； (3) 对任何满足条件 TT 的有限个正数，证明：N⩽11N\leqslant 11.

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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