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共找到 28 题
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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 AA 为椭圆 Γ:x26+y22=1\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上一点，F1F_1，F2F_2 分别为椭圆的左，右焦点.
(1) 若点 AA 的横坐标为 22，求 ∣AF1∣\left|AF_1\right| 的长； (2) 设 Γ\Gamma 的上，下顶点分别为 M1M_1，M2M_2，记 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的面积为 S1S_1，△AM1M2\triangle AM_1M_2 的面积为 S2S_2，若 S1≥S2S_1\ge S_2，求 ∣OA∣\left|OA\right| 的取值范围； (3) 若点 AA 在 xx 轴上方，设直线 AF2AF_2 与 Γ\Gamma 交于点 BB，与 yy 轴交于点 KK，KF1KF_1 延长线与 Γ\Gamma 交于点 CC，是否存在 xx 轴上方的点 CC，使得 F1A→+F1B→+F1C→=λ(F2A→+F2B→+F2C→)\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}） 成立？若存在，请求出点 CC 的坐标；若不存在，请说明理由.

2024 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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12解析几何★★★★★
已知圆 OO 的半径为 1，直线 PAPA 与 OO 相切于 AA，PB‾∩PC‾\overline{PB}\cap\overline{PC} 与 OO 相交于 BB，CC，DD 为 BCBC 中点，若 PO=2PO=2，则 PA⋅PDPA\cdot PD 的最大值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
1+21+\sqrt2
D.
2+22+\sqrt2

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 多选题

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12平面向量★★★★★
已知空间向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 都是单位向量，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}，OA→⊥OC→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 60∘60^\circ. 若 PP 为空间任意一点，且 ∣OP→∣=1\left|\overrightarrow{OP}\right|=1，满足 ∣OP→⋅OC→∣≤∣OP→⋅OB→∣≤∣OP→⋅OA→∣\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|，则 OP→⋅OC→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC} 的最大值为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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22平面向量★★★★★
如图，⊙O\odot O 中 AB⌢\overset{\frown}{AB} 的中点为 PP，弦 PCPC，PDPD 分别交 ABAB 于 EE，FF 两点.
(1) 若 ∠PFB=2∠PCD\angle PFB=2\angle PCD，求 ∠PCD\angle PCD 的大小； (2) 若 ECEC 的垂直平分线与 FDFD 的垂直平分线交于点 GG，证明 OG⊥CDOG\perp CD.

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15平面向量★★★★★
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，若对任意单位向量 e\boldsymbol{e}，均有 ∣a⋅e∣+∣b⋅e∣≤6|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{e}|\le \sqrt6，则 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} 的最大值是______.

2016 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10平面向量★★★★★
在平面内，定点 AA，BB，CC，DD 满足 ∣DA→∣=∣DB→∣=∣DC→∣\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|，且 DA→⋅DB→=DB→⋅DC→=DC→⋅DA→=−2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2，动点 PP，MM 满足 ∣AP→∣=1\left|\overrightarrow{AP}\right|=1，PM→=MC→\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则 ∣BM→∣2\left|\overrightarrow{BM}\right|^2 的最大值是（ ）
\begin{solution} 令 u=DA→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{DA}，v=DB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{DB}，w=DC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{DC}，并设 ∣u∣2=∣v∣2=∣w∣2=r2|\boldsymbol{u}|^2=|\boldsymbol{v}|^2=|\boldsymbol{w}|^2=r^2.三个向量共面，故其 Gram 行列式为零：
det⁡(r2−2−2−2r2−2−2−2r2)=(r2−4)(r2+2)2=0\det\begin{pmatrix}r^2&-2&-2\\-2&r^2&-2\\-2&-2&r^2\end{pmatrix}=(r^2-4)(r^2+2)^2=0
因 r2>0r^2>0，故 r2=4r^2=4.又
∣u+v+w∣2=3r2+2(−2−2−2)=0|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|^2=3r^2+2(-2-2-2)=0
所以 u+v+w=\bs0\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\bs0.
设 z=AP→\boldsymbol{z}=\overrightarrow{AP}，则 ∣z∣=1|\boldsymbol{z}|=1，且由于 MM 是 PCPC 的中点，
BM→=u+z+w2−v=z−3v2\overrightarrow{BM}=\frac{\boldsymbol{u}+\boldsymbol{z}+\boldsymbol{w}}{2}-\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{z}-3\boldsymbol{v}}{2}
于是
∣BM→∣2=14(∣z∣2+9∣v∣2−6z⋅v)=14(37−6z⋅v)|\overrightarrow{BM}|^2=\frac14\left(|\boldsymbol{z}|^2+9|\boldsymbol{v}|^2-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\right)=\frac14(37-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v})
由 z⋅v≥−∣z∣∣v∣=−2\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\geq-|\boldsymbol{z}||\boldsymbol{v}|=-2，得
∣BM→∣2≤37+124=494|\overrightarrow{BM}|^2\leq\frac{37+12}{4}=\frac{49}{4}
当 z\boldsymbol{z} 与 v\boldsymbol{v} 反向时取等号，所以最大值为 494\dfrac{49}{4}，选 B. \end{solution}
A.
434\dfrac{43}{4}
B.
494\dfrac{49}{4}
C.
37+634\dfrac{37+6\sqrt3}{4}
D.
37+2334\dfrac{37+2\sqrt{33}}{4}

2016 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 C1:x2=4yC_1: x^2 = 4y 的焦点 FF 也是椭圆 C2:y2a2+x2b2=1C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点，C1C_1 与 C2C_2 的公共弦长为 262\sqrt{6}.
(1) 求 C2C_{2} 的方程； (2) 过点 FF 的直线 ll 与 C1C_1 相交于 AA，BB 两点，与 C2C_2 相交于 CC，DD 两点，且 AC→\overrightarrow{AC} 与 BD→\overrightarrow{BD} 同向.
① 若 ∣AC∣=∣BD∣|AC| = |BD|，求直线 ll 的斜率； ② 设 C1C_1 在点 AA 处的切线与 xx 轴的交点为 MM，证明： 直线 ll 绕点 FF 旋转时，△MFD\triangle MFD 总是钝角三角形.

2015 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15平面向量★★★★★
已知两个不相等的非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，两组向量 x1\boldsymbol{x}_{1}，x2\boldsymbol{x}_{2}，x3\boldsymbol{x}_{3}，x4\boldsymbol{x}_{4}，x5\boldsymbol{x}_{5} 和 y1\boldsymbol{y}_{1}，y2\boldsymbol{y}_{2}，y3\boldsymbol{y}_{3}，y4\boldsymbol{y}_{4}，y5\boldsymbol{y}_{5} 均由 2 个 a\boldsymbol{a} 和 3 个 b\boldsymbol{b} 排列而成，记 S=x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4+x5⋅y5S = \boldsymbol{x}_{1} \cdot \boldsymbol{y}_{1} + \boldsymbol{x}_{2} \cdot \boldsymbol{y}_{2} + \boldsymbol{x}_{3} \cdot \boldsymbol{y}_{3} + \boldsymbol{x}_{4} \cdot \boldsymbol{y}_{4} + \boldsymbol{x}_{5} \cdot \boldsymbol{y}_{5}. Smin⁡S_{\min} 表示 SS 所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① SS 有 5 个不同的值； ② 若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 Smin⁡S_{\min} 与 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 无关； ③ 若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 Smin⁡S_{\min} 与 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 无关； ④ 若 ∣b∣>4∣a∣|\boldsymbol{b}| > 4|\boldsymbol{a}|，则 Smin⁡>0S_{\min} > 0； ⑤ 若 ∣b∣=2∣a∣|\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|，Smin⁡=8∣a∣2S_{\min} = 8|\boldsymbol{a}|^2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 π4\frac{\pi}{4}.
\begin{solution} 把每个向量的五个分量看作五个位置. 设 MM 是所有五对 (xi,yi)(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{y}_i) 中两个对应分量同时为 a\boldsymbol{a} 的位置总数. 因为五个 xi\boldsymbol{x}_i 中共有 1010 个 a\boldsymbol{a} 分量，所以在 xi\boldsymbol{x}_i 中为 a\boldsymbol{a}、而在 yi\boldsymbol{y}_i 中为 b\boldsymbol{b} 的位置共有 10−M10-M 个；同理，在 xi\boldsymbol{x}_i 中为 b\boldsymbol{b}、而在 yi\boldsymbol{y}_i 中为 a\boldsymbol{a} 的位置也有 10−M10-M 个. 再由五对向量共有 2525 个对应位置，两个分量均为 b\boldsymbol{b} 的位置数为 5+M5+M.
因此 S=M∣a∣2+2(10−M)a⋅b+(5+M)∣b∣2=5∣b∣2+20a⋅b+M∣a−b∣2S=M\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+2(10-M)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+(5+M)\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+M\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}. 因 a≠b\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{b}，有 ∣a−b∣2>0\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}>0. 每一对向量中两个 a\boldsymbol{a} 的位置交集可有 00，11，22 个；五对向量的排列彼此独立，因此取若干对使交集分别为 22，至多再取一对使交集为 11，其余取 00，即可使总数 MM 取得 00 到 1010 的每一个整数. 因而 SS 实际有 1111 个不同的值，命题 \circled1\circled{1} 错误，且 Smin⁡=5∣b∣2+20a⋅bS_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 Smin⁡=5∣b∣2S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}，与 ∣a∣\lvert\boldsymbol{a}\rvert 无关，命题 \circled2\circled{2} 正确. 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 a⋅b=±∣a∣∣b∣\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\pm\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert，所得 Smin⁡=5∣b∣2±20∣a∣∣b∣S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}\pm20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert 仍与 ∣b∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert 有关，命题 \circled3\circled{3} 错误. 若 ∣b∣>4∣a∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert>4\lvert\boldsymbol{a}\rvert，由柯西不等式得 Smin⁡⩾5∣b∣2−20∣a∣∣b∣=5∣b∣(∣b∣−4∣a∣)>0S_{\min}\geqslant5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}-20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert(\lvert\boldsymbol{b}\rvert-4\lvert\boldsymbol{a}\rvert)>0，命题 \circled4\circled{4} 正确. 若 ∣b∣=2∣a∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert=2\lvert\boldsymbol{a}\rvert 且 Smin⁡=8∣a∣2S_{\min}=8\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}，则 a⋅b=−35∣a∣2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac35\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}，从而夹角余弦为 −310-\dfrac{3}{10}，不等于 cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4}，命题 \circled5\circled{5} 错误. 所以正确命题的编号为 \circled2\circled{2}\circled4\circled{4}，故填 \circled2\circled4\circled{2}\circled{4}. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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21解析几何★★★★★
如图，已知双曲线 C:x2a2−y2=1C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1（a>0a > 0）的右焦点为 FF. 点 AA，BB 分别在 CC 的两条渐近线上，AF⊥xAF \perp x 轴，AB⊥OBAB \perp OB，BF∥OABF \parallel OA（OO 为坐标原点）.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 过 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（y0≠0y_0 \neq 0）的直线 l:x0xa2−y0y=1l: \frac{x_0 x}{a^2} - y_0 y = 1，与直线 AFAF 相交于点 MM，与直线 x=32x = \frac{3}{2} 相交于点 NN. 证明：当点 PP 在 CC 上移动时，∣MF∣∣NF∣\frac{|MF|}{|NF|} 恒为定值，并求此定值.

2014 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18平面向量★★★★★
在边长为 11 的正六边形 ABCDEFABCDEF 中，记以 AA 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3，a4\boldsymbol{a}_4，a5\boldsymbol{a}_5；以 DD 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1\boldsymbol{d}_1，d2\boldsymbol{d}_2，d3\boldsymbol{d}_3，d4\boldsymbol{d}_4，d5\boldsymbol{d}_5. 若 mm，MM 分别为 (ai+aj+ak)⋅(dr+ds+dt)(\boldsymbol{a}_i+\boldsymbol{a}_j+\boldsymbol{a}_k)\cdot(\boldsymbol{d}_r+\boldsymbol{d}_s+\boldsymbol{d}_t) 的最小值，最大值，其中 {i,j,k}⊆{1,2,3,4,5}\{i,j,k\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}，{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5}\{r,s,t\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}，则 mm，MM 满足（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 取正六边形外接圆圆心为原点，令 A=(1,0)A=(1,0)， B=(12,32)\ B=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)， C=(−12,32)\ C=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)， D=(−1,0)\ D=(-1,0) 并按顺序取 EE，FF. 则从 AA 出发的五个向量的 xx 分量为 −12-\frac12，−32-\frac32，−2-2，−32-\frac32，−12-\frac12 从 DD 出发的五个向量的 xx 分量为 22，32\frac32，12\frac12，12\frac12，32\frac32. 任取其中三个，前一组向量和的 xx 分量不大于
−12−12−32=−52-\frac12-\frac12-\frac32=-\frac52
后一组向量和的 xx 分量不小于
12+12+32=52\frac12+\frac12+\frac32=\frac52
两组向量的 yy 分量分别由两个 32\frac{\sqrt3}{2}、两个 −32-\frac{\sqrt3}{2} 和一个 00 中任取三个相加，故各自绝对值不超过 3\sqrt3. 设两组和分别为 (X,Y)(X,Y)、(U,V)(U,V)，则 XU⩽−254XU\leqslant-\frac{25}{4}，YV⩽∣Y∣∣V∣⩽3YV\leqslant|Y||V|\leqslant3. 所以任意一个题设点积均满足
(X,Y)⋅(U,V)=XU+YV⩽−254+3=−134<0(X,Y)\cdot(U,V)=XU+YV\leqslant-\frac{25}{4}+3=-\frac{13}{4}<0
因此其最大值 M<0M<0，最小值自然也满足 m<0m<0，故选 D. \end{solution}
A.
m=0m=0，M>0M>0
B.
m<0m<0，M>0M>0
C.
m<0m<0，M=0M=0
D.
m<0m<0，M<0M<0

2013 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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23平面向量★★★★★
对于数集 X={−1,x1,x2,⋯ ,xn}X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}，其中 0<x1<x2<⋯<xn0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n，n⩾2n \geqslant 2，定义向量集 Y={a∣a=(s,t),s∈X,t∈X}Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}. 若对任意 a1∈Y\boldsymbol{a}_1 \in Y，存在 a2∈Y\boldsymbol{a}_2 \in Y，使得 a1⋅a2=0\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0，则称 XX 具有性质 PP. 例如 {−1,1,2}\{-1, 1, 2\} 具有性质 PP.
(1) 若 x>2x > 2，且 {−1,1,2,x}\{-1, 1, 2, x\} 具有性质 PP，求 xx 的值； (2) 若 XX 具有性质 PP，求证： 1∈X1 \in X，且当 xn>1x_n > 1 时，x1=1x_1 = 1； (3) 若 XX 具有性质 PP，且 x1=1x_{1} = 1，x2=qx_{2} = q （qq 为常数），求有穷数列 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的通项公式.

2012 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 动点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2）在曲线 CC 上，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll. 问：是否存在定点 P(0,t)P(0, t) （t<0t < 0），使得 ll 与 PAPA，PBPB 都相交，交点分别为 DD，EE，且 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比是常数？若存在，求 tt 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
平面内与两定点 A1(−a,0)A_{1}(-a,0)，A2(a,0)A_{2}(a,0)（a>0a>0）连线的斜率之积等于非零常数 mm 的点的轨迹，加上 A1A_{1}，A2A_{2} 两点所成的曲线 CC 可以是圆、椭圆或双曲线.
(1) 求曲线 CC 的方程，并讨论 CC 的形状与 mm 值的关系； (2) 当 m=−1m=-1 时，对应的曲线为 C1C_1；对给定的 m∈(−1,0)∪(0,+∞)m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)，对应的曲线为 C2C_2. 设 F1F_1，F2F_2 是 C2C_2 的两个焦点. 试问：在 C1C_1 上，是否存在点 NN，使得 △F1NF2\triangle F_1NF_2 的面积 S=∣m∣a2S=|m|a^2？若存在，求 tan⁡∠F1NF2\tan\angle F_1NF_2 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，过点 K(−1,0)K(-1,0) 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，点 AA 关于 xx 轴的对称点为 DD.
(1) 证明：点 FF 在直线 BDBD 上. (2) 设 FA→⋅FB→=89\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = \frac{8}{9}，求 △BDK\triangle BDK 的内切圆 MM 的方程.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ\Gamma 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 PP 的坐标为 (−a,b)(-a, b).
(1) 若直角坐标平面上的点 MM，A(0,−b)A(0, -b)，B(a,0)B(a, 0) 满足 PM→=12(PA→+PB→)\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})，求点 MM 的坐标； (2) 设直线 l1:y=k1x+pl_1: y = k_1x + p 交椭圆 Γ\Gamma 于 CC，DD 两点，交直线 l2:y=k2xl_2: y = k_2x 于点 EE. 若 k1⋅k2=−b2a2k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}，证明： EE 为 CDCD 的中点； (3) 对于椭圆 Γ\Gamma 上的点 Q(acos⁡θ,bsin⁡θ)Q(a\cos \theta, b\sin \theta) （0<θ<π0 < \theta < \pi） ，如果椭圆 Γ\Gamma 上存在不同的两点 P1P_1，P2P_2 使 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}，写出求作点 P1P_1，P2P_2 的步骤，并求出使 P1P_1，P2P_2 存在的 θ\theta 满足的条件.

2010 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知定点 A(−1,0)A(-1,0)，F(2,0)F(2,0). 定直线 l:x=12l: x = \frac{1}{2}，不在 xx 轴上的动点 PP 与点 FF 的距离是它到直线 ll 的距离的 2 倍. 设点 PP 的轨迹为 EE；过点 FF 的直线交 EE 于 BB，CC 两点，直线 ABAB，ACAC 分别交 ll 于点 MM，NN.
(1) 求 EE 的方程； (2) 试判断以线段 MNMN 为直径的圆是否过点 FF，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在直角坐标平面 xOyxOy 上的一列点 A1(1,a1)A_1(1,a_1)，A2(2,a2)A_2(2,a_2)，⋯\cdots，An(n,an)A_n(n,a_n)，⋯\cdots，简记为 {An}\{A_n\}. 若由 bn=AnAn+1→⋅jb_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\boldsymbol{j} 构成的数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn+1>bnb_{n+1}>b_n，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，其中 j\boldsymbol{j} 为方向与 yy 轴正方向相同的单位向量，则称 {An}\{A_n\} 为 TT 点列.
(1) 判断 A1(1,1)A_1(1,1)，A2(2,12)A_2\left(2,\frac{1}{2}\right)，A3(3,13)A_3\left(3,\frac{1}{3}\right)，⋯\cdots，An(n,1n)A_n\left(n,\frac{1}{n}\right)，⋯\cdots，是否为 TT 点列，并说明理由； (2) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，且点 A2A_2 在点 A1A_1 的右上方. 任取其中连续三点 AkA_k，Ak+1A_{k+1}，Ak+2A_{k+2}，判断 △AkAk+1Ak+2\triangle A_kA_{k+1}A_{k+2} 的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并予以证明； (3) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，正整数 1⩽m<n<p<q1\leqslant m<n<p<q 满足 m+q=n+pm+q=n+p，求证：AnAq→⋅j>AmAp→⋅j\overrightarrow{A_nA_q}\cdot\boldsymbol{j}>\overrightarrow{A_mA_p}\cdot\boldsymbol{j}.

2008 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2，原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\dfrac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2}b. (2) 设 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}，过原点 OO 作直线 Q1Q2Q_{1}Q_{2} 的垂线 ODOD，垂足为 DD，求点 DD 的轨迹方程.

2007 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2. 原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\frac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2} b. (2) 求 t∈(0,b)t \in (0, b) 使得下述命题成立：设圆 x2+y2=t2x^{2} + y^{2} = t^{2} 上任意点 M(x0,y0)M(x_{0}, y_{0}) 处的切线交椭圆于 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 两点，则 OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}.

2007 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})， B(x2,y2)B(x_{2},y_{2})（x1≠0x_{1}\neq 0，x2≠0x_{2}\neq 0）是抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）上的两个动点. OO 是坐标原点，向量 OA→\overrightarrow{OA}， OB→\overrightarrow{OB} 满足 ∣OA→+OB→∣=∣OA→−OB→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}\right|，设圆 CC 的方程为 x2+y2−(x1+x2)x−(y1+y2)y=0x^{2} + y^{2} - (x_{1} + x_{2})x - (y_{1} + y_{2})y = 0.
(1) 证明线段 ABAB 是圆 CC 的直径； (2) 当圆 CC 的圆心到直线 x−2y=0x - 2y = 0 的距离的最小值为 255\frac{2\sqrt{5}}{5} 时，求 pp 的值.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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