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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
音高 yy（单位：mel）与频率 ff（单位：Hz）满足 y=lg⁡(1+f700)y=\lg \left( 1+\frac{f}{700} \right)，若 lg⁡2≤y<3lg⁡2\lg 2\le y<3\lg 2，则 ff 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
在一定条件下，某大模型训练 NN 个单位的数据量所需时间 T=klog⁡2NT=k\log_2 N（单位：小时）. 已知数据量从 10610^6 增加到 1.024×1091.024\times10^9 时增加 2020 小时；当数据量从 1.024×1091.024\times10^9 增加到 4.096×1094.096\times10^9 时，训练时间增加（ ）
A.
2
B.
4
C.
20
D.
40

2025 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
生物丰富度指数 d=S−1ln⁡Nd=\frac{S-1}{\ln N} 是河流水质的一个评价指标，其中 SS，NN 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 dd 越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数 SS 没有变化，生物个体总数由 N1N_1 变为 N2N_2，生物丰富度指数由 2.12.1 提高到 3.153.15，则（ ）
A.
3N2=2N13N_2=2N_1
B.
2N2=3N12N_2=3N_1
C.
N22=N13N_2^2=N_1^3
D.
N23=N12N_2^3=N_1^2

2024 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2) 是函数 y=2xy=2^x 的图象上两个不同的点，则（ ）
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<\frac{x_1+x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<x_1+x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2

2024 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=−ln⁡xf(x)=-\ln x
B.
f(x)=12xf(x)=\dfrac{1}{2^x}
C.
f(x)=−1xf(x)=-\dfrac{1}{x}
D.
f(x)=3∣x−1∣f(x)=3^{|x-1|}

2023 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=4x+log⁡2xf(x)=4^x+\log_2 x，则 f(12)=‾f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=11+2xf(x)=\dfrac{1}{1+2^x}，则对任意实数 xx，有（ ）.
A.
f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
B.
f(−x)−f(x)=0f(-x)-f(x)=0
C.
f(−x)+f(x)=1f(-x)+f(x)=1
D.
f(−x)−f(x)=13f(-x)-f(x)=\frac13

2022 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系，其中 TT 表示温度，单位是 K\mathrm{K}；PP 表示压强，单位是 bar\mathrm{bar}. 下列结论中正确的是（ ）.
A.
当 T=220T=220，P=1026P=1026 时，二氧化碳处于液态
B.
当 T=270T=270，P=128P=128 时，二氧化碳处于气态
C.
当 T=300T=300，P=9987P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360T=360，P=729P=729 时，二氧化碳处于超临界状态

2022 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lg⁡E1E2m_2-m_1=\dfrac52\lg\dfrac{E_1}{E_2}，其中星等为 mkm_k 的星的亮度为 EkE_k（k=1k=1，22）. 已知太阳的星等是 −26.7-26.7，天狼星的星等是 −1.45-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）.
A.
1010.110^{10.1}
B.
10.110.1
C.
lg⁡10.1\lg10.1
D.
10−10.110^{-10.1}

2019 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lg⁡E1E2m_2-m_1=\dfrac52\lg\dfrac{E_1}{E_2}，其中星等为 mkm_k 的星的亮度为 EkE_k（k=1k=1，22）. 已知太阳的星等是 −26.7-26.7，天狼星的星等是 −1.45-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）.
A.
1010.110^{10.1}
B.
10.110.1
C.
lg⁡10.1\lg 10.1
D.
10−10.110^{-10.1}

2019 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 21122^{\frac1{12}}. 若第一个单音的频率为 ff，则第八个单音的频率为（ ）.
A.
23 f\sqrt[3]{2}\,f
B.
223 f\sqrt[3]{2^2}\,f
C.
2512 f\sqrt[12]{2^5}\,f
D.
2712 f\sqrt[12]{2^7}\,f

2018 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★☆☆☆☆
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 212\sqrt[12]{2}. 若第一个单音的频率为 ff，则第八个单音频率为（ ）.
A.
23 f\sqrt[3]{2}\,f
B.
223 f\sqrt[3]{2^2}\,f
C.
2512 f\sqrt[12]{2^5}\,f
D.
2712 f\sqrt[12]{2^7}\,f

2018 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3x−(13)xf(x)=3^x-\left(\dfrac13\right)^x，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
B.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
C.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数
D.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数

2017 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 MM 约为 33613^{361}，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 NN 约为 108010^{80}，则下列各数中与 MN\dfrac{M}{N} 最接近的是（ ）
（参考数据：lg⁡3≈0.48\lg 3\approx 0.48）
A.
103310^{33}
B.
105310^{53}
C.
107310^{73}
D.
109310^{93}

2017 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3x−(13)xf(x)=3^x-\left(\dfrac13\right)^x，则 f(x)f(x)（ ）.
A.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
B.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
C.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数
D.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数

2017 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 MM 约为 33613^{361}，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 NN 约为 108010^{80}. 则下列各数中与 MN\dfrac{M}{N} 最接近的是（ ）.
（参考数据：lg⁡3≈0.48\lg 3\approx0.48）
A.
103310^{33}
B.
105310^{53}
C.
107310^{73}
D.
109310^{93}

2017 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 xx，y∈Ry\in\mathbf{R}，且 x>y>0x>y>0，则（ ）
A.
1x−1y>0\dfrac1x-\dfrac1y>0
B.
sin⁡x−sin⁡y>0\sin x-\sin y>0
C.
(12)x−(12)y<0\left(\dfrac12\right)^x-\left(\dfrac12\right)^y<0
D.
ln⁡x+ln⁡y>0\ln x+\ln y>0

2016 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象为折线 ACBACB，则不等式 f(x)⩾log⁡2(x+1)f(x) \geqslant \log_2(x + 1) 的解集是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图可知，折线 ACBACB 的端点横坐标为 −1-1、22，且 C=(0,2)C=(0,2). 当 −1<x⩽0-1<x\leqslant0 时，f(x)=2x+2=2(x+1)>0f(x)=2x+2=2(x+1)>0，而 0<x+1⩽10<x+1\leqslant1 时 log⁡2(x+1)⩽0\log_2(x+1)\leqslant0，所以不等式成立.
当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，f(x)=2−x⩾1f(x)=2-x\geqslant1，且 1⩽x+1⩽21\leqslant x+1\leqslant2，故 log⁡2(x+1)⩽1\log_2(x+1)\leqslant1，不等式仍成立. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，f(x)=2−x<1f(x)=2-x<1，而 log⁡2(x+1)>1\log_2(x+1)>1，不等式不成立. 另外，x=−1x=-1 不在对数函数定义域内，因此解集为 {x∣−1<x⩽1}\{x\mid-1<x\leqslant1\}，故选 C. \end{solution}
A.
{x∣−1<x≤0}\{x\mid-1<x\leq0\}
B.
{x∣−1⩽x⩽1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−1<x⩽1}\{x\mid -1 < x\leqslant 1\}
D.
{x∣−1<x⩽2}\{x\mid -1 < x\leqslant 2\}

2015 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★☆☆☆☆
2−32^{-3}，3123^{\frac{1}{2}}，log⁡25\log_2 5 三个数中最大的数是______.

2015 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数的是（ ）
A.
y=x+1y = \sqrt{x + 1}
B.
y=(x−1)2y = (x - 1)^{2}
C.
y=2−xy = 2^{-x}
D.
y=log⁡0.5(x+1)y = \log_{0.5}(x + 1)

2014 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 SS 值为（ ）
A.
11
B.
33
C.
77
D.
1515

2014 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 若 f(ab)=1f(ab) = 1，则 f(a2)+f(b2)=f(a^2) + f(b^2)=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
如果 log⁡12x<log⁡12y<0\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} y < 0，那么（ ）
A.
y<x<1y < x < 1
B.
x<y<1x < y < 1
C.
1<x<y1 < x < y
D.
1<y<x1 < y < x

2011 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设不等式组
{x+y−11⩾0,3x−y+3⩾0,5x−3y+9⩽0\left\{\begin{aligned}x+y-11&\geqslant0,\\ 3x-y+3&\geqslant0,\\ 5x-3y+9&\leqslant0\end{aligned}\right.
表示的平面区域为 DD. 若指数函数 y=axy=a^{x} 的图象上存在区域 DD 内的点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1,3](1,3]
B.
[2,3][2,3]
C.
(1,2](1,2]
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2010 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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