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05函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=1x2+1f(x)=\frac{1}{x^2+1}
B.
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x
C.
f(x)=2−x−2xf(x)=2^{-x}-2^x
D.
f(x)=ln⁡5+x5−xf(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}

2026 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点是 (2,0)\left( 2,0 \right)，离心率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 EE 的方程； (2) 过点 A(1,1)A\left( 1,1 \right)，斜率为 kk（k≠±1k\neq \pm 1）的直线交椭圆 EE 于 BB，CC 两点，BB 关于 y=xy=x 的对称点为 DD，DCDC 交 y=xy=x 于 QQ，若 ∣S△ABQ−S△ACQ∣=58\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}，求 kk.

2026 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设 A=(aij)m×nA=\left( a_{ij} \right)_{m\times n} 是一个 mm 行 nn 列的数阵，且数阵中的每一项 aij∈{−1,1}a_{ij}\in \left\{ -1,1 \right\}，都等于 1 或 −1-1. 若对任意 1≤i1\le i， p≤m\ p\le m，1≤j1\le j， q≤n\ q\le n，其中 i≠pi\neq p，j≠qj\neq q，且 ∣∣i−p∣−∣j−q∣∣=2\left| \left| i-p \right|-\left| j-q \right| \right|=2，都有 aij+aiq+apj+apq=0a_{ij}+a_{iq}+a_{pj}+a_{pq}=0，则称数阵 AA 具有性质 PP.
(1) 判断下列两个数表是否具有性质 PP：
| A1=A_1= \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
11−1-11
(2) 在所有具有性质 PP 的 5×45\times 4 数阵中，1 的个数最多是多少？ (3) 若 m=n=6m=n=6，a11=1a_{11}=1，且数阵 AA 具有性质 PP，证明：对任意 ii，j∈{1,2,3,4,5,6}j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}，都有 aij=ai1a1ja_{ij}=a_{i1}a_{1j}.

2026 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
为得到函数 y=9xy=9^x 的图象，只需把函数 y=3xy=3^x 的图象上的所有点
A.
xx 变成原来的 12\dfrac12 倍，yy 不变
B.
xx 变成原来的 22 倍，yy 不变
C.
yy 变成原来的 13\dfrac13 倍，xx 不变
D.
yy 变成原来的 33 倍，xx 不变

2025 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“函数 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}”是“对任意 M∈RM\in\mathbf{R}，存在 x0∈Dx_0\in D 使得 ∣f(x0)∣>M|f(x_0)|>M”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2025 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x)，以下说法正确的有（ ）
A.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x)+f(-x)=\cos x
D.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x)-f(-x)=\cos x

2025 · 北京 · 第 15 题 · 解答题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

2024 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=−ln⁡xf(x)=-\ln x
B.
f(x)=12xf(x)=\dfrac{1}{2^x}
C.
f(x)=−1xf(x)=-\dfrac{1}{x}
D.
f(x)=3∣x−1∣f(x)=3^{|x-1|}

2023 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<−ax<-a），f(x)=a2−x2f(x)=\sqrt{a^2-x^2}（−a≤x≤a-a\le x\le a），f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x}-1（x>ax>a）. 给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1,+\infty) 上单调递减； ② 当 a≥1a\ge 1 时，f(x)f(x) 存在最大值； ③ 设 M(x1,f(x1))M(x_1,f(x_1))（x1≤ax_1\le a），N(x2,f(x2))N(x_2,f(x_2))（x2>ax_2>a），则 ∣MN∣>1|MN|>1； ④ 设 P(x3,f(x3))P(x_3,f(x_3))（x3<−ax_3<-a），Q(x4,f(x4))Q(x_4,f(x_4))（x4≥−ax_4\ge -a）.
若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值，则 aa 的取值范围是 (0,12]\left(0,\dfrac{1}{2}\right].
其中所有正确结论的序号是______.

2023 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系，其中 TT 表示温度，单位是 K\mathrm{K}；PP 表示压强，单位是 bar\mathrm{bar}. 下列结论中正确的是（ ）.
A.
当 T=220T=220，P=1026P=1026 时，二氧化碳处于液态
B.
当 T=270T=270，P=128P=128 时，二氧化碳处于气态
C.
当 T=300T=300，P=9987P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360T=360，P=729P=729 时，二氧化碳处于超临界状态

2022 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1−xf(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x} 的定义域是______.

2022 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=Asin⁡x−3cos⁡xf(x)=A\sin x-\sqrt3\cos x 的一个零点为 π3\dfrac{\pi}{3}，则 A=A=______；f(π12)=f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=______.

2022 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x≥af(x)=\begin{cases} -ax+1,&x<a,\\ \left(x-2\right)^2,&x\ge a \end{cases}
，若 f(x)f(x) 存在最小值，则 aa 的一个取值为______；aa 的最大值为______.

2022 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 [0,1][0,1]，则“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上单调递增”是“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值为 f(1)f(1)”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2021 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2x−x−1f(x)=2^x-x-1，则不等式 f(x)>0f(x)>0 的解集是（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty,0)\cup(1,+\infty)

2020 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1+ln⁡xf(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln x 的定义域是______.

2020 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+ae−xf(x)=\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}（aa 为常数），若 f(x)f(x) 为奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}；若 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的增函数，则 aa 的取值范围是______.

2019 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃. 价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)\left(0,+\infty\right) 上单调递增的是（ ）.
A.
y=xy=\sqrt{x}
B.
y=2−xy=2^{-x}
C.
y=log⁡12xy=\log_{\frac12}x
D.
y=1xy=\dfrac1x

2019 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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