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19高考真题17分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2x。对任意 x0∈Rx_0\in\mathbb{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}。
（1）若当 x⩾0x\geqslant 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)；
（2）若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\neq 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；
（3）设 f(x)f(x) 满足：①若 f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；②当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0)。
（i）证明：f(0)⩾1f(0)\geqslant 1；
（ii）证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增。

2026全国一卷 · 第 19 题 · 解答题

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbb{R} 的函数 f(x)f(x), 给出下列四个结论:
① 存在在 R\mathbb{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x) 使得 f(x)+f(2x)=−xf(x) + f(2x) = -x 恒成立;
② 存在在 R\mathbb{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x) 使得 f(x)−f(2x)=xf(x) - f(2x) = x 恒成立;
③ 使得 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x) + f(-x) = \cos x 恒成立的函数 f(x)f(x) 存在且有无穷多个;
④ 使得 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x) - f(-x) = \cos x 恒成立的函数 f(x)f(x) 存在且有无穷多个。
其中正确结论的序号是______。

2025北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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21高考真题14分函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, 对于正实数 aa, 定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x),x∈R}M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}。
(1) 设 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, 判断 π3\frac{\pi}{3} 是否是 MπM_\pi 中的元素, 并说明理由;
(2) 设 f(x)={x+2,x<0,x,x≥0,f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases} 且 Ma≠∅M_a \ne \varnothing, 求 aa 的取值范围;
(3) 若 y=f(x)y = f(x) 是偶函数, 当 x∈(0,1]x \in (0, 1] 时, f(x)=1−xf(x) = 1 - x, 且对任意 a∈(0,2)a \in (0, 2), 均有 Ma⊆M2M_a \subseteq M_2。写出当 x∈(1,2)x \in (1, 2) 时 f(x)f(x) 的表达式, 并证明: 对任意实数 cc, 函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 在区间 [−3,3][-3, 3] 上至多有 99 个零点。

2025上海卷 · 第 21 题 · 解答题

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05高考真题4分函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y={2x,x>01,x⩽0y = \begin{cases} 2^x, & x > 0 \\ 1, & x \leqslant 0 \end{cases} 的值域为______.

2023上海卷 · 第 5 题 · 填空题

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11高考真题5分函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=4x+log⁡2xf(x) = 4^x + \log_2 x, 则 f(12)=f(\frac{1}{2}) =______。

2023北京卷 · 第 11 题 · 填空题

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11高考真题6分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y), 则 （ ）
A.
f(0)=0f(0) = 0
B.
f(1)=0f(1) = 0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x = 0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023新高考I卷 · 第 11 题 · 多选题

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a > 0, 函数 f(x)={x+2,x<−aa2−x2,−a≤x≤a−x−1,x>af(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}
给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1, +\infty) 上单调递减；
② 当 a≥1a \ge 1 时, f(x)f(x) 存在最大值；
③ 设 M(x1,f(x1))(x1≤a)M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a), N(x2,f(x2))(x2>a)N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a), 则 ∣MN∣>1|MN| > 1；
④ 设 P(x3,f(x3))(x3<−a)P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a), Q(x4,f(x4))(x4≥−a)Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)。若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值, 则 aa 的取值范围是 (0,12](0, \frac{1}{2}]。
其中所有正确结论的序号是______。

2023北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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