某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设 $\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值。

（i）求 $\hat{p}$；

（ii）工厂向某用户销售 100 件电子元件，$X$ 为这 100 件产品首次出故障小于 365 天的件数，则 $X \sim B(100, \hat{p})$，求 $E(X)$，$D(X)$。

样本数据 $2, 8, 14, 16, 20$ 的平均数为 （ ）

甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 $1$ 分, 负者得 $0$ 分。设每个球甲胜的概率为 $p$ ($\frac{1}{2} < p < 1$), 乙胜的概率为 $q$, $p + q = 1$, 且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \ge 2$, 记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $2$ 分的概率, $q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2$ 分的概率。

(1) 求 $p_3, p_4$ (用 $p$ 表示);

(2) 若 $\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4$, 求 $p$;

(3) 证明: 对任意正整数 $m$, $p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}$。

信号传输: 发送 0 收到 1 概率 $\alpha$, 发送 1 收到 0 概率 $\beta$。单次/三次传输译码方案, 则 （ ）

疾病检测: 患病者/未患病者指标频率分布直方图, 临界值 $c$, 漏诊率 $p(c)$, 误诊率 $q(c)$。

(1) $p(c) = 0.5\%$ 时求 $c$ 和 $q(c)$;

(2) $f(c) = p(c) + q(c)$, $c \in [95, 105]$, 求 $f(c)$ 解析式及最小值。