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07集合与逻辑基础★★★☆☆
{an}\left\{ a_n \right\}，{bn}\left\{ b_n \right\} 是无穷数列，则“存在常数 MM，使 an≤M≤bna_n\le M\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”是“an≤bna_n\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2026 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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05数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的等差数列，a1=−2a_1=-2，若 a3a_3，a4a_4，a6a_6 成等比数列，则 a10=a_{10}=（ ）
A.
−20-20
B.
−18-18
C.
16
D.
18

2025 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠，合，升，斗，斛五量合一的标准量器，其中升量器，斗量器，斛量器的形状均可视为圆柱. 若升，斗，斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65 mm65\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，且斛量器的高为 230 mm230\mathrm{~mm}，则斗量器的高为______ mm\mathrm{~mm}，升量器的高为______ mm\mathrm{~mm}.（不计量器的厚度）

2024 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6)^3+6（n=1n=1，22，33，…\dots），则（ ）
A.
当 a1=3a_1=3 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M≤0M\le 0，使得 an>Ma_n>M 恒成立
B.
当 a1=5a_1=5 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M≤6M\le 6，使得 an<Ma_n<M 恒成立
C.
当 a1=7a_1=7 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M>6M>6，使得 an>Ma_n>M 恒成立
D.
当 a1=9a_1=9 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M>0M>0，使得 an<Ma_n<M 恒成立

2023 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 {an}\{a_n\}，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 a1=1a_1=1，a5=12a_5=12，a9=192a_9=192，则 a7=‾a_7=\underline{\hspace{2em}}；数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的项数均为 mm（m>2m>2），且 ana_n，bn∈{1,2,…,m}b_n\in\{1,2,\dots,m\}，{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和分别为 AnA_n，BnB_n，并规定 A0=B0=0A_0=B_0=0. 对于 k∈{0,1,2,…,m}k\in\{0,1,2,\dots,m\}，定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak, i∈{0,1,2,…,m}}r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}，其中，max⁡M\max M 表示数集 MM 中最大的数.
(1) 若 a1=2a_1=2，a2=1a_2=1，a3=3a_3=3，b1=1b_1=1，b2=3b_2=3，b3=3b_3=3，求 r0r_0，r1r_1，r2r_2，r3r_3 的值； (2) 若 a1≥b1a_1\ge b_1，且 2rj≤rj+1+rj−12r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}（j=1j=1，22，…\dots，m−1m-1），求 rnr_n； (3) 证明：存在 pp，qq，ss，t∈{0,1,2,…,m}t\in\{0,1,2,\dots,m\}，满足 p>qp>q，s>ts>t，使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p+B_t=A_q+B_s.

2023 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}\{a_n\} 为递增数列”是“存在正整数 N0N_0，当 n>N0n>N_0 时，an>0a_n>0”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2022 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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06数列★★☆☆☆
《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种. 这五种规格党旗的长 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5（单位：cm\mathrm{cm}）成等差数列，对应的宽为 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4，b5b_5（单位：cm\mathrm{cm}），且长与宽之比都相等. 已知 a1=288a_1=288，a5=96a_5=96，b1=192b_1=192，则 b3=b_3=（ ）
A.
64
B.
96
C.
128
D.
160

2021 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为整数的递增数列，且 a1≥3a_1\ge3. 若 a1+a2+a3+⋯+an=100a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100，则 nn 的最大值为（ ）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12

2021 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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02数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2019 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 若 a2=−3a_2=-3，S5=−10S_5=-10，则 a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}，SnS_n 的最小值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，从中选取第 i1i_1 项，第 i2i_2 项，…，第 imi_m 项（i1<i2<⋯<imi_1<i_2<\cdots<i_m），若 ai1<ai2<⋯<aima_{i_1}<a_{i_2}<\cdots<a_{i_m}，则称新数列 ai1a_{i_1}，ai2a_{i_2}，…\dots，aima_{i_m} 为 {an}\{a_n\} 的长度为 mm 的递增子列. 规定：数列 {an}\{a_n\} 的任意一项都是 {an}\{a_n\} 的长度为 11 的递增子列.
(1) 写出数列 11，88，33，77，55，66，99 的一个长度为 44 的递增子列； (2) 已知数列 {an}\{a_n\} 的长度为 pp 的递增子列的末项的最小值为 am0a_{m_0}，长度为 qq 的递增子列的末项的最小值为 an0a_{n_0}. 若 p<qp<q，求证：am0<an0a_{m_0}<a_{n_0}； (3) 设无穷数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正整数，且任意两项均不相等. 若 {an}\{a_n\} 的长度为 ss 的递增子列末项的最小值为 2s−12s-1，且长度为 ss 末项为 2s−12s-1 的递增子列恰有 2 s−12^{\,s-1} 个（s=1s=1，22，…\dots），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2019 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

2019 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
12\dfrac12
B.
56\dfrac56
C.
76\dfrac76
D.
712\dfrac{7}{12}

2018 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 21122^{\frac1{12}}. 若第一个单音的频率为 ff，则第八个单音的频率为（ ）.
A.
23 f\sqrt[3]{2}\,f
B.
223 f\sqrt[3]{2^2}\,f
C.
2512 f\sqrt[12]{2^5}\,f
D.
2712 f\sqrt[12]{2^7}\,f

2018 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09数列★☆☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=3a_1=3，a2+a5=36a_2+a_5=36，则 {an}\{a_n\} 的通项公式为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
12\dfrac12
B.
56\dfrac56
C.
76\dfrac76
D.
712\dfrac7{12}

2018 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb，cc，dd 是非零实数，则“ad=bcad=bc”是“aa，bb，cc，dd 成等比数列”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2018 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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