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05高考真题4分数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列, a1=−2a_1 = -2, 若 a3,a4,a6a_3, a_4, a_6 成等比数列, 则 a10=a_{10} = （ ）
A.
−20-20
B.
−18-18
C.
1616
D.
1818

2025北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 1010 的等比数列, 底面直径依次为 65 mm,325 mm,325 mm65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}, 且斛量器的高为 230 mm230\text{ mm}, 则斗量器的高为 ______ mm\text{mm}, 升量器的高为 ______ mm\text{mm}。(不计量器的厚度)

2024北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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15高考真题5分数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 M={k∣ak=bk;k∈N∗}M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}, 给出下列四个结论: ① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列, 则 MM 中最多有 11 个元素; ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列, 则 MM 中最多有 22 个元素; ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列, {bn}\{b_n\} 为等比数列, 则 MM 中最多有 33 个元素; ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列, {bn}\{b_n\} 为递减数列, 则 MM 中最多有 11 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

2024北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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21高考真题15分数列★★★★★
集合 MM 包含特定四元组。对数列 AA 进行变换 Ω(A)\Omega(A)。
(1) 计算给定 AA 和 Ω\Omega 的结果; (2) 判断是否存在 Ω\Omega 使得 AA 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 Ω(A)\Omega(A) 各项相等的充要条件。

2024北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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10高考真题4分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1} = \frac{1}{4}(a_n - 6)^3 + 6 (n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots), 则 （ ）
A.
当 a1=3a_1 = 3 时, {an}\{a_n\} 为递减数列, 且存在常数 M≤0M \le 0, 使得 an>Ma_n > M 恒成立
B.
当 a1=5a_1 = 5 时, {an}\{a_n\} 为递增数列, 且存在常数 M≤6M \le 6, 使得 an<Ma_n < M 恒成立
C.
当 a1=7a_1 = 7 时, {an}\{a_n\} 为递减数列, 且存在常数 M>6M > 6, 使得 an>Ma_n > M 恒成立
D.
当 a1=9a_1 = 9 时, {an}\{a_n\} 为递增数列, 且存在常数 M>0M > 0, 使得 an<Ma_n < M 恒成立

2023北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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14高考真题5分数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史, 战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知 99 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 99 的数列 {an}\{a_n\}, 该数列的前 33 项成等差数列, 后 77 项成等比数列, 且 a1=1a_1 = 1, a5=12a_5 = 12, a9=192a_9 = 192, 则 a7=a_7 =______; 数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为______。

2023北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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21高考真题14分数列★★★★★
已知数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的项数均为 mm (m>2m > 2), 且 an,bn∈{1,2,…,m}a_n, b_n \in \{1, 2, \dots, m\}, {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的前 nn 项和分别为 An,BnA_n, B_n, 并规定 A0=B0=0A_0 = B_0 = 0。对于 k∈{0,1,2,…,m}k \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak,i∈{0,1,2,…,m}}r_k = \max \{i \mid B_i \le A_k, i \in \{0, 1, 2, \dots, m\}\}。
(1) 若 a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=2,b3=3a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 3, 写出 r0,r1,r2,r3r_0, r_1, r_2, r_3 的值；
(2) 若 a1≥b1a_1 \ge b_1, 且 2rj≤rj+1+rj−12r_j \le r_{j+1} + r_{j-1}, j=1,2,…,m−1j = 1, 2, \dots, m-1, 求 rnr_n；
(3) 证明：存在 p,q,s,t∈{0,1,2,…,m}p, q, s, t \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 满足 p>q,s>tp > q, s > t, 使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p + B_t = A_q + B_s。

2023北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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06高考真题4分数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的无穷等差数列, 则“{an}\{a_n\} 为递增数列”是“存在正整数 N0N_0, 当 n>N0n > N_0 时, an>0a_n > 0”的 （ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2022北京卷 · 第 6 题 · 选择题

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15高考真题5分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数, 其前 nn 项和 SnS_n 满足 an⋅Sn=9 (n=1,2,…)a_n \cdot S_n = 9 \ (n = 1, 2, \ldots)。给出下列四个结论: ① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3; ② {an}\{a_n\} 为等比数列; ③ {an}\{a_n\} 为递减数列; ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项。 其中所有正确结论的序号是 ______$

2022北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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21高考真题14分数列★★★★☆
已知 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为有穷整数数列, 给定正整数 mm, 若对任意的 n∈{1,2,…,m}n \in \{1, 2, \ldots, m\}, 在 QQ 中存在 ai,ai+1,ai+2,…,ai+j (j⩾0)a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{i+j} \ (j \geqslant 0), 使得 ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=na_i + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots + a_{i+j} = n, 则称为 mm-连续可表数列。 (1) 判断 Q:2,1,4Q: 2, 1, 4 是否为 5-连续可表数列? 是否为 6-连续可表数列? 说明理由; (2) 若 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为 8-连续可表数列, 求证: kk 的最小值为 4; (3) 若 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为 20-连续可表数列, a1+a2+⋯+ak<20a_1 + a_2 + \cdots + a_k < 20, 求证: k⩾7k \geqslant 7。

2022北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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