如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, $BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3$。点 $E$ 在 $AD$ 上, 且 $PE \perp AD, PE = DE = 2$。

(1) 若 $F$ 为线段 $PE$ 的中点, 求证: $BF \parallel$ 平面 $PCD$;

(2) 若 $AB \perp$ 平面 $PAD$, 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值。

如图, 平面四边形 $ABCD$ 中, $AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ$, 点 $E, F$ 满足 $\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 翻折至 $\triangle PEF$, 使得 $PC = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明: $EF \perp PD$;

(2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成的二面角的正弦值.

如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $PA \perp$ 平面 $ABC$, $PA = AB = BC = 1$, $PC = \sqrt{3}$。

(1) 求证: $BC \perp$ 平面 $PAB$；

(2) 求二面角 $A-PC-B$ 的大小。

如图, 在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, 侧面 $BCC_1B_1$ 为正方形, 平面 $BCC_1B_1 \perp$ 平面 $ABB_1A_1$, $AB = BC = 2$, $M, N$ 分别为 $A_1B_1, AC$ 的中点。 (1) 求证: $MN \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$; (2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求直线 $AB$ 与平面 $BMN$ 所成角的正弦值。 条件①: $AB \perp MN$; 条件②: $BM = MN$。