已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$ ($\omega > 0, -\pi < \varphi < \pi$) 在区间 $\left[-\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增, 直线 $x = \frac{\pi}{12}$ 为曲线 $y = f(x)$ 的一条对称轴, 点 $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 为曲线 $y = f(x)$ 的一个对称中心, 则 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最小值为 （ ）