设 $U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\,i=1,2,3\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合，点 $P(1,1,1)$，记样本空间 $\Omega=\complement_U\{P\}$，从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $X$ 的数学期望值为（ ）

设整数 $N\geqslant 2$。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 $1$ 次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p$（$0<p<1$），各次投中与否相互独立。记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当 $N=4$，$p=\dfrac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；

（2）设 $k$，$m$ 均为自然数。

（i）当 $k\leqslant N-1$ 时，求 $P(X>k)$；

（ii）当 $k+m\leqslant N-1$ 时，证明：$P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)$。

有 $5$ 个相同的球, 分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5$, 从中有放回地随机取 $3$ 次, 每次取 $1$ 个球。记 $X$ 为这 $5$ 个球中至少被取出 $1$ 次的球的个数, 则 $X$ 的数学期望 $E(X) =$ ______。

有 $5$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5$，从中有放回地随机取 $3$ 次，每次取 $1$ 个球。记 $X$ 为这 $5$ 个球中至少被取出 $1$ 次的球的个数，则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ ______。

甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 ______.

有 $6$ 个相同的球, 分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$, 从中无放回地随机取 $3$ 次, 每次取 $1$ 个球. 设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值, $n$ 为取出的三个球上数字的平均值, 则 $|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2}$ 的概率为______.

一项试验研究臭氧对小白鼠体重影响。40 只小白鼠随机分实验组和对照组。数据见原题表格。

(1) 求对照组体重增加量的均值和方差;

(2) 检验两组是否有显著差异。

疾病检测: 患病者/未患病者指标频率分布直方图, 临界值 $c$, 漏诊率 $p(c)$, 误诊率 $q(c)$。

(1) $p(c) = 0.5\%$ 时求 $c$ 和 $q(c)$;

(2) $f(c) = p(c) + q(c)$, $c \in [95, 105]$, 求 $f(c)$ 解析式及最小值。